Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ko’paytmani yig’indi bilan almashtiramiz.

2. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ni yig’indi bilan almashtiramiz.

3. integral hisoblansin.

Yechish: Berilgan integralni hisoblash uchun ni yig’indiga aymashtiramiz.





4.Egri chiziq yoyi uzunligi
Ta‘rif.  chiziqning аtb yoyining uzunligi deb egri chiziqqa ichki chizilgan va uchlari (x(t₁), y(t₁)) (t₁=a, t₂...t_n=b, t₁2<...n) nuqtalarda bo`lgan siniq chiziq uzunligining, siniq chiziq bo`g`inlari cheksiz kichraya borgandagi intilgan limitga aytiladi.

TEOREMA. Silliq chiziqning xar qanday yoyi aniq uzunlikka ega . Agar egri chiziq r=r(t) tenglama bilan berilgan bo`lsa, atb yoy uzunligi

formula bilan xisoblanadi.

ISBOT. Sinik chiziq uzunliginini egri chiziq tenglamasidan foydalanib quyidagi

ko`rinishda ifodalashimiz mumkin.

Bu ifodani quyidagi ko`rinishda yozamiz:

=

+- (2)

Oxirgi tenglikning o`ng tomonidagi ikkinchi qo`shiluvchi integralning ta‘rifiga asosan yetarlicha kichik miqdordir. Uchinchi qo`shiluvchini esa quyidagicha yozamiz:



[a,b] kesmada r'(t) vektor-funktsiya tekis uzluksiz bo`lgani uchun |r'(t)-r'(t<sub>k</sub>)|< bo`ladi. Shuning uchun uchinchi qo`shiluvchini

=(b-a)

ko`rinishda ifodalashimiz mumkin.

Shunday qilib, siniq chiziq bo`g`inlari cheksiz kichraya borganda, yani t_k-t_k-1 ayirma 0 ga intilganda (2) tenglikda limitga o`tsak,

ni olamiz.

Bu tenglik teoremani isbotlaydi.

Endi yoy uzunligini xisoblash formulalarini topamiz.

1. Agar  egri chiziq x=x(t), y=y(t), z=z(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsa, (1) ga asosan atb yoy uzunligi

(3)

formula bilan xisoblanadi.

2. Agar egri chiziq y=y(t), z=z(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa yoy uzunligi

(4)

formula bilan xisoblanadi.

ESLATMA. ХОУ tekislikda yotuvchi tekis egri chiziqlar uchun (3) va (4) formulalarda z'=0 bo`ladi.