Mustaqil ish 1 Funkiya tushunchasi

1.Differensial hisobning asosiy teoremalari.

1) Ferma teoremasi. y=f(x) funksiya biror x oraqlida aniqlangan va bu oraliqning ichki c nuqtasida o’zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar bu nuqtada funksiya chekli f’(c) hosilaga ega bo’lib ega bo’lsa, u holda

f’(c)=0

bo’ladi.

Isbot. Shartga ko’ra f(x) funksiya c nuqtada eng katta qiymatga ya’ni da f(x)f(c) tengsizlik o’rinli, shu bilan birga bu c nuqtada chekli f’(x) hosila mavjud. Ravshanki,

f’(x)===.

Ammo x>c bo’lganda

=>

va x

=>

bo’lishidan f’(c)=0 ekanligi kelib chiqadi.

2) Roll teoremasi. y=f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya (a,b) intervalda chekli f’(x) hosilaga ega bo’lib, f(a)=f(b) bo’lsa, u holda shunday c(a
f’(c)=0

bo’ladi.

Isbot. f(x) funksiya [a,b] segmentda uzluksiz. Demak, Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko’ra bu oraliqda funksiya o’zining eng katta qiymati M va eng kichik qiymati m ga erishadi.

1 m=M bo’lsin. Bunda f(x)=const x[a,b] bo’ladi. Ravshanki, bu holda (a,b) uchun f’(c)=0 bo’ladi.

2 mM bo’lsin. Bu holda f(a)=f(b) bo’lgani uchun f(x) funksiya o’zining eng katta qiymati M, eng kichik qiymati m larning kamida bittasiga [a,b] segmentning ichki c(a

erishadi. Ferma teoremasiga asosan bu nuqtada f’(x)=0 bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.

3)Lagranj teoremasi. y=f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiya (a,b) intervalda chekli f’(x) hosilaga ega bo’lsa, f(a)=f(b) bo’lsa, u holda shunday c(a
f’(x)=

bo’ladi.

Isbot. Shartga ko’ra f(x) funksiya [a,b] segmentda uzluksiz bo’lib, (a,b) intervalda esa

F(x)=f(x) - f(a) - (x-a)

Funksiyasini tuzaylik. Ravshanki bu F(x) funksiya [a,b] segment-da aniqlangan va uzluksiz bo’lib, (a,b) intervalda esa

F’(x) = f’(x) -

hosilaga ega. F(x) funksiya x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarni hisoblaymiz: F(a)=F(b)=0. Demak, F(x) funksiya Roll teoremasi - ning barcha shartlarini qanoatlantiradi. U holda a va b orasida shunday c(anuqta topiladiki, F’(c)=0 bo’ladi. Shunday qilib,

0=F’(c)=f’(c) -

va bundan formula kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.

4)Koshiy teoremasi. f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funksiyalar (a,b) intervalda chekli f’(x) va g’(x) hosilalarga ega bo’lib, x(a,b) uchun g’(x)0 bo’lsa, u holda shunday c(anuqta topiladiki

=

bo’ladi.