Mustaqil ish Mavzu: Funksiya tushunchasi. Funksiyani aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami

Uzluksiz funksiyalar xossalari. To’plamda uzluksizlik
Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi:
1. f (M) va g(M) funksiyalar M₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda M₀ nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo’ladi:
a) ; b) (k – o’zgarmas); c)
d) .
2. Agar f (M) funksiya V to’plamda aniqlangan bo’lib, M₀ є V nuqtada uzluksiz va f (M₀) > 0 (f (M₀) < 0) bo’lsa, u holda M₀ nuqtaning shunday bir δ atrofi S_δ(M₀) mavjudki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 (f (M) < 0) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
To’plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to’plamda uzluksiz funksiya deyiladi.
To’plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:
1. Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda f (M) funksiya V to’plamda chegaralangandir.
2. Agar f (M) funksiya ixcham V to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda f (M) funksiya V to’plamda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o’zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo’shimcha quyidagi xossa o’rinli:
3 . Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (1-rasm). 1-rasm.

Bir tomonlama uzluksizlik. Bir o’zgaruvchili funksiyaning uzilish nuqtalari.
Bir o’zgaruvchili funksiya argumentning x ≤ x₀ (x ≥ x₀) qiymatlarida aniqlangan bo’lsin.
Agar ( )
munosabat bajarilsa, f (x) funksiya x₀ nuqtada chapdan (o’ngdan) uzluksiz deyiladi.
Masalan, funksiya 0 nuqtada chapdan uzluksiz, chunki, .
funksiya [a; b] kesmaning har bir ichki nuqtasida uzluksiz bo’lib, a nuqtada o’ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lgandagina [a; b] kesmada uzluksiz bo’ladi.
Bir o’zgaruvchili funksiya x₀ nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin. Funksiyaning x₀ nuqtaning o’zida aniqlangan bo’li-shi shart emas. Agar f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo’lmasa, funksiya x₀ nuqtada uzilgan yoki x₀ nuqta uning uzilish nuqtasi deyiladi.
funksiyaning x₀ nuqtada chapdan va o’ngdan limitlari mavjud bo’lib, o’zaro teng bo’lmasa, ya’ni

u holda x ₀ nuqta funksiyaning birinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.