Mustaqil ish Mavzu: Funksiya tushunchasi. Funksiyani aniqlanish sohasi va qiymatlar to’plami

2. Funksiyaning uzluksizligi va uning xossalari
y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V  R_n to’plamda aniqlangan bo’lib, nuqta V to’plamning quyuqlanish nuqtasi va M₀ є V bo’lsin.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta’riflagan kabi, ikki teng kuchli ta’riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to’plamga tegishli va uning M₀ quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M₁, M₂, …, M_k, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M₁), f (M₂), …, f (M_k), … sonli ketma-ketligi f (M₀) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M₀ nuqtaning shunday bir δ atrofi S_δ(M₀) ni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha M є S_δ(M₀) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M₀) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M₀ nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M₀ nuqtada erishadigan qiymati f (M₀) ga tengligini anglatadi, ya’ni .
shart shartga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M₀) = Δf (M₀) almashtirish kiritsak, shartlar

ko’rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.

Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta’riflarni bir o’zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:
1) y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki