Mustaqil ish mavzu: metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limiti. Fan

Mustaqil ish mavzu: metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limiti. Fan

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI
MIRZO ULUG`BEK NOMIDAGI O`ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI

MUSTAQIL ISH

Mavzu: METRIK FAZODA KETMA-KETLIKLAR VA UNING LIMITI.

Fan: Matematik analiz
Toshkent – 2022

REJA:

1. 
   
   fazoda ketma-ketlik tushunchalari.
   
2. 
   
   Ketma-ketlik limitining mavjudligi. Koshi teoremasi.
   
3. 
   
   fazoda ketma-ketlik va uning limiti.
   

FAZODA KETMA-KETLIK VA UNING LIMITI TUSHUNCHALARI
1.Metrik fazo tushunchasi. Elementlar (nuqtalar) ning biror X to’plami (fazosi) va masofa, ya’ni bir qiymatli, manfiymas, haqiqiy, uchun aniqlangan va quyidagi uchta aksiomani qanoatlantiruvchi funksiyadan tuzilgan (X,p) juft metrik fazo deyiladi. Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa:
a. p(x,y) =0 x=y,
b. p(x,y) = p(x,y) (simmetriya aksiomasi),
c. p(x,z) ≤ p(x,y)+ p(x,z) (uchburchak aksiomasi).
Metrik fazoni biz odatda bitta harf bilan belgilaymiz. R= (X, p).
1⁰. Fazoda ketma-ketlik va uning limiti tushunchalari. Aytaylik, biror qoidaga ko’ra har bir natural son га fazoning bitta

nuqtasi mos qo’yilgan bo’lsin. Bu moslik natijasida fazo nuqtalaridan tashkil topgan ushbu , , ... , , ...

qisqacha

to’plam hosil bo’ladi. Uni fazoda ketma-ketlik deyilib, kabi belgilanadi. Demak, ketma-ketlikning hadlari fazo nuqtalaridan iborat bo’lib, bu nuqtalar-ning koordinatalari ta

...
sonlar ketma-ketliklarini yuzaga keltiradi.
Faraz qilaylik, fazoda :
(1)
ketma-ketlik hamda
nuqta berilgan bo’lsin.
1-ta’rif. Agar olinganda ham, shunday son topilsaki, barcha uchun

yani

bo’lsa, a nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi va
ёки да
kabi belgilanadi.
da

tengsizlikning bajarilishi, (1) ketma-ketlikning dan katta nomerli hadlari nuqtaning atrofiga tegishli bo’lishini bildiradi. Bu hol (1) ketma-ketlikning limitini quyidagicha ta’riflash imkonini beradi.

2-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy atrofi olingandan ham, ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa , nuqta ketma-ketlikning limiti deyiladi.
1-misol. fazoda ushbu

ketma-ketlikning limiti bo’lishi ko’rsatilsin.

◄ sonini olib, unga ko’ra ni topamiz.
Unda uchun

bo’ladi. Demak,

.►