Mustaqil ish mavzu: metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limiti. Fan
-teorema (Bolsano-Veyershtrass teoremasi)
Download 18.51 Kb.
|
Mustaqil ish mavzu metrik fazoda ketma-ketliklar va uning limit-fayllar.org
- Bu sahifa navigatsiya:
- FAZODA KETMA-KETLIK VA UNING LIMITI
5-teorema (Bolsano-Veyershtrass teoremasi).
fazoda har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. 50. Xususiy hоllar. bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik sonlar ketma-ketligi bo’ladi. bo’lganda bo’lib, undagi ketma-ketlik tekislik nuqtalaridan iborat ketma-ketlik bo’ladi. Bu ketma-ketlikning limiti va sonlar ketma-ketliklarining limitlari orqali o’rganiladi. Masalan, ushbu ketma-ketlik limitga ega bo’lmaydi, chunki ketma-ketliklar limitga ega emas.
……………………………… F:n → akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan
2. fazoda ketma-ketlikning limiti tushunchasi (R da) xaqiqiy sonlar ketma-ketligining limiti tushunchasi kabi kiritiladi. fazoda biror x1(n)x2(n)… xm(n) … (1) ketma-ketlik va biror a = (a1, a2,… am) є nuqta berilgan bo’lsin. Ta’rif : Agar ixtiyoriy ε> 0 son olinganda xam , shunday n0 є N,topilsaki barcha n > n0 uchun ρ (x(n) a)< є (2) bajarilsa a nuqta {x(n)} ketma-ketliking limiti deb ataladi va yoki da kabi belgilanadi a nuqtaning ε – atrofidan foydalanib ketma-ketlik limitini quyidagicha ta’riflash mumkin. Ta’rif : a nuqtaning U ε (a) atrofi olinganda ham {x(n)} ketma-ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a nuqta { x(n)} ketma-ketlikning limiti deb ataladi. Misol { x(n)} = {(-1)n+1, (-1)n+1} ketma-ketlikning limiti mavjud ekanligi ko’rsatilsin. Teskarisini faraz qilaylik ketma-ketlik limitga ega va u a=(a1a2) ga teng bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra ε>0 (jumladan ε =1) uchun n0 єN topiladiki n > n0 lar uchun. bo’ladi Bu ziddiyatlik ketma-ketlikning limitining mavjud ekanligini bildiradi. fazoda {x(n) }={x1(n)x2(n)… xm(n) } ketma -ketlik berilgan bo’lsin, u limitga ega bo’lsin.u holda limit ta’rifiga ko’ra, ketma ketlikning biror hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning Uε (a) sferik atrofiga tegishli bo’ladi va shu nuqtaning parallelepipedial atrofining qismi bo’ladi Demak hadlari { x(n)} ketma-ketlikning o’sha n0 hadidan boshlab barcha hadlari a nuqtaning atrofida yotadi, ya’ni barcha n>n0 lar uchun xn ) = {(x1, x2 … xm) є ; a1-ε < x1< a1+a2 a2 – ε 2 2+ ε, … am – ε < xm < am+ ε} bo’ladi. Bundan esa n > n0 lar uchun bo’lishi kelib chiqadi. Demak ε >0 olinganda ham shunday n0 є N topiladiki, barch n > n0 lar uchun. │x1(n) - a│< ε , │x2(n) - a│< ε …. │xm(n) - a│< ε bo’ladi bu esa
Shunday qilib {xn} ketma-ketlik limitga ega va uning limiti a bo’lsa uning koordinatlaridan tuzilgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} ketma-ketlik ham limitga ega va ular mos ravishda a ning koordinatlariga teng. Demak Endi fazoda {x(n)} ketma-ketlikning koordinatlaridan tashkil topgan {x1(n)}, {x2(n)}, … {xm(n)} sonlar ketma-ketligi limitdga ega va u a nuqtaning mos koordinatlariga teng bo’lsin Yani U xolda limit ta’rifiga ko’ra ε >0 son olinganda ham ga ko’ra shunday n0(1) є N topiladiki n > n0(1) lar uchun│x1(n)–a1│< n0(2)єN topiladiki n > n0(2) lar uchun │x2(n) – a2│< bo’ladi. Agar n0= max {n0(1), n0(2), … n0(m)} deb olsak unda barcha n>n0 uchun bir yo’la │xi(n) – ai│< tengsizliklar bajariladi. U holda bo’lib, undan ( Download 18.51 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling