Mustaqil ish mavzusi: Kvadratik forma va uni kanonik ko`rinishga keltirish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI

MUSTAQIL ISH

MAVZUSI: Kvadratik forma va uni

kanonik ko`rinishga keltirish

Bajardi: Ravshan

Guruh: MST-17

Shakllar tenglamalarini kvadrat shakllar yordamida kanonik shaklga keltirish
1-modda. Asosiy ta'riflar.
n ta oʻzgaruvchidagi kvadratik shakl yigʻindi boʻlib, uning har bir aʼzosi oʻzgaruvchilardan birining kvadrati yoki qaysidir koeffitsient bilan olingan ikkita oʻzgaruvchining koʻpaytmasi hisoblanadi.
Teorema. Degeneratsiz chiziqli transformatsiyada kvadratik shaklning matritsasi shaklni oladi
Teorema.
Simmetrik matritsaning turli xos qiymatlariga mos keladigan xos vektorlar ortogonaldir.
Kvadrat shakl kanonik shaklga ega deyiladi, agar u faqat kvadratchalar o'zgaruvchilardan iborat bo'lsa.
Kanonik kvadrat shaklning matritsasi diagonaldir.
Misol.
2-modda. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarni o'rganish uchun kvadrat shakllarni qo'llash.
Kvadrat shaklni ko'rib chiqing
Kanonik ko'rinish
Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglama bilan berilgan bo'lsin
Agar
keyin egri elliptik shaklga ega bo'ladi;
Agar
u holda egri chiziq giperbolik shaklga ega bo'ladi;
Agar
u holda egri chiziq parabolik bo'ladi.
Misol. Egri chiziq turini aniqlang
Qaror. Keling, matritsa tuzamiz
Chunki
u holda egri chiziq elliptik bo'ladi.
Misol. Egri chiziq tenglamasini kanonik shaklga aylantiring
Chizma qiling.
Qaror. Belgilamoq
Ushbu kvadrat shaklning matritsasi shaklga ega
Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz
O'z raqamlari:
Keling, xos vektorlarni topaylik.
Bo'lsin
keyin
xos qiymatga mos keluvchi
xos vektorlardir
Shunung uchun
Ushbu vektorlarni normallashtiramiz:
Bo'lsin
keyin
Shuning uchun
xos qiymatga mos keluvchi
xos vektorlardir
Koordinatani o'zgartirish matritsasi (aylanish matritsasi):
Koordinata o'qlarini o'zgartirish uchun formulalar
Bu egri chiziq tenglamasiga x va y ifodalarini almashtirish
Так как с помощью указанного преобразования координат квадратичная форма приводится к каноническому виду, то получим
To'liq kvadratlarni tanlang
O'rinbosar
Formulalar bo'yicha parallel uzatishni bajaramiz
Nihoyat, olamiz
- yarim o'qli ellips
Izoh.
Kanonik shaklga o'tish natijasida quyidagi holatlar mumkin:
- ellips;
- nuqta yo'q (xayoliy ellips);
- bitta ball;
— haqiqiy o'qli giperbola Ox;
— bir juft kesishuvchi chiziqlar;
— haqiqiy o'qli giperbola Oy;
— parabola (har qanday variantlar);
— bir juft parallel chiziqlar;
— nuqta yo'q (bir juft xayoliy parallel chiziqlar);
— bitta to'g'ri chiziq.