Mustaqil Ishi Mavzu: Muhim yopiq sinflar Buxoro-2021 Muhim yopiq sinflar Reja

1- t e o r e m a . Agar   {1,..., n} funksiyalar sistemasi to‘liq bo‘lsa, u holda unga ikki taraflama bo‘lgan *  {1 *,...,n *} funksiyalar sistemasi ham to‘liq bo‘ladi.
I s b o t i . * sistemaning to‘liqligini isbotlash uchun istalgan f (x1,..., xn ) funksiyani * sistemasidagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali ifodalash mumkinligini ko‘rsatish kerak. Buning uchun avval f * funksiyani   {1,..., n} sistemadagi funksiyalar orqali ifodalaymiz (  sistema to‘liq bo‘lgani uchun bu protsedurani bajarish mumkin). Keyin ikki taraflama qonunga asosan ikki taraflama funksiyalar superpozitsiyasi orqali f funksiyani hosil qilamiz.
2- m i s o l . Quyidagilar to‘liq funksiyalar sistemasi emasligini isbotlaymiz:
a) x, 1; b) xy, x  y ; d) x  y, x ;
e) xy  yz  xz, x ; f) xy  yz  xz, 0, 1.
a) x  x 1 bo‘lgani uchun {x, 1} sistemadagi funksiyalar bir argumentli funksiyalar bo‘ladi.
Bizga ma’lumki, bir argumentli funksiyalarning superpozitsiyasi natijasida hosil qilingan funksiya ham bir argumentli funksiya bo‘ladi. Natijada, bu sistemadagi funksiyalar orqali ko‘p argumentli funksiyalarni ifodalab bo‘lmaydi. Shuning uchun {x, 1} – to‘liq funksiyalar sistemasi emas.
b) {xy, x  y} sistemadagi funksiyalarning ikkalasi ham monotondir. Monoton
funksiyalarning superpozitsiyasi orqali hosil qilingan funksiya ham monoton bo‘lishi isbotlangan edi. Demak, bu ikkala funksiyaning superpozitsiyasi orqali monoton bo‘lmagan funksiyalarni ifodalash mumkin emas va natijada, {xy, x  y} – to‘liq funksiyalar sistemasi emas.
d) {x  y, x} sistemadagi funksiyalar chiziqli funksiyalardir. Shuning uchun bu funksiyalar orqali chiziqlimas funksiyalarni ifodalab bo‘lmaydi. Demak, {x  y, x} – to‘liq funksiyalar sistemasi emas.
e) {xy  yz  xz, x} sistemadagi funksiyalar o‘z-o‘ziga ikki taraflama funksiyalardir. Bu funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan har qanday funksiya ham o‘z-o‘ziga ikki taraflama funksiya bo‘ladi. Demak, {xy  yz  xz, x} – to‘liq funksiyalar sistemasi emas.
f). {xy  yz  xz, 0, 1} sistemadagi funksiyalarning hammasi monoton funksiyalardir. Monoton emas funksiyalar bu sistemadagi funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Demak, {xy  yz  xz, 0, 1} – to‘liq funksiyalar sistemasi emas.
2- misol tahlilidan quyidagi xulosa kelib chiqadi. Berilgan  funksiyalar sistemasining to‘liq emasligini isbotlash uchun sistemadagi funksiyalarning shunday umumiy xususiyatini topish kerakki, bu xususiyat funksiyalar superpozitsiyasi natijasida saqlansin. Haqiqatan ham, u holda bunday xususiyatga ega bo‘lmagan funksiyani  sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali hosil qilib bo‘lmaydi. Funksiyalarning bunday xususiyatlarini tekshirish uchun odatda funksional yopiq sinf tushunchasidan foydalaniladi.