N. A. Otaxanov

§-20.  MATRISALAR  ALGEBRASI. 

1. O‘lchamlari mos ravishda k x m  va  m x l  bo‘lgan A va B matrisalar berilgan 

bo‘lsin. AB ko‘paytmani hisoblang. 

2. n tartibli A kvadrat matrisa berilgan. A

2

 ni hisoblang. 

3. n tartibli A va B kvadrat matrisa berilgan. AB-BA ni toping. 

4.  n  tartibli A kvadrat matrisa berilgan bo‘lsin. B matrisa quyidagi formulalar 

bilan aniqlanadi: 

a) 

1

+

+

=

j

i

i

b

j

i

       b) 

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

+

≤

−

+

=

holda

aks

j

i

j

i

agar

j

i

b

j

i

,

1

1

,

1

1

 

c) 

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

−

+

−

=

<

−

+

=

holda

aks

j

i

j

i

agar

j

i

agar

j

i

b

j

i

,

1

1

,

0

,

1

2

2

 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

65 

 

AB matrisani toping.  

5.  n  tartibli A kvadrat matrisa hamda n ta elementli b vektor berilgan bo‘lsin. 

Quyidagi vektorlarni aniqlang: 

1)  Ab;                      2)  A

2

b                   3) (A-E)b  

6. n tartibli A kvadrat matrisa berilgan bo‘lsin. b vektor quyidagi formulalar bilan 

aniqlanadi: 

a) 

2

1

2

+

=

i

b

i

             b) 

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

+

=

holda

aks

i

juft

i

agar

i

b

i

,

1

,

2

1

2

 

Ab vektorni toping. 

7.  n  tartibli A kvadrat matrisa hamda n ta elementli x va y vektorlar berilgan 

bo‘lsin. A(x+y) vektorni toping. 

8.  n  tartibli A, B va C  kvadrat matrisalar berilgan bo‘lsin. (A+B)C matrisani 

hisoblang. 

9. n tartibli A va B kvadrat matrisalar berilgan. A(B-E)+C matrisani topnig. Bu 

yerda E-birlik matrisa, C ning elementlari   

.

...,

,

2

,

1

,

;

1

n

j

i

j

i

c

j

i

=

+

=

 

formula bilan aniqlanadi. 

10.  m  tartibli A kvadrat matrisa hamda n – natural son berilgan bo‘lsin. A 

matrisaning n-darajasini tejamkorlik bilan hisoblang. Masalan: A

4

=(A

2

)

2

. 

11.  5-tartibli A kvadrat matrisa berilgan bo‘lsin. Uning 15 darajasini hisoblang. 

12.  m  tartibli A kvadrat matrisa hamda n – natural son berilgan bo‘lsin. 

E+A+A

2

+...+A

n

 ifodaning qiymatini  hisoblang. 

13.  mxn o‘lchovli A matrisa berilgan bo‘lsin. Transponerlangan A* matrisani 

toping. 

14. mxn o‘lchovli A matrisa berilgan. AA* matrisani toping. 

15. m tartibli A kvadrat matrisa berilgan bo‘lsin. Quyidagi (A+A*)/2 va (A-A*)/2 

matrisalarni hisoblang. 

16.  Kvadrat matrisaning izi deb matrisaning bosh diagonali elementlarining 

yig‘indisiga aytiladi. n-natural son va m-tartibli A kvadrat matrisa berilgan 

bo‘lsin. A, A

2

, ..., A

n

 matrisalarning izlarini toping.   

17.  Z kompleks sonli matrisa ikkita haqiqiy X va Y matrisalar orqali Z=X+iY  

ko‘rinishida ifodalanadi. Haqiqiy sonli A, B, C va D kvadrat matrisalar berilgan 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

66 

 

bo‘lsin.  A+iB hamda C+iD kompleks matrisalar ko‘paytmasini, ya’ni 

X+iY=(A+ib)(C+iD) ifodaning qiymati bo‘lgan X va Y kvadrat matrisalarni 

toping.  

18. A kvadrat matrisa berilgan bo‘lsin. A

-1

, ya’ni A matrisaga teskari matrisani 

toping. 

19. A kvadrat matrisa o‘ng uchburchak matrisa ko‘rinishida berilgan bo‘lib, unda 

(n+1)n/2 ta son 1 dan boshlab yozilgan. Matrisaning birinchi satrida dastlabki n-ta 

son, ikkinchi satrining ikkinchi elementidan boshlab keyingi n-1 ta son va hk. 

tarzida joylashgan. Shuningdek, n-elementli  b vektor ham berilgan. Ab 

vektorning  komponentalarini aniqlang. 

20. A va B o‘ng uchburchakli matrisalar 19-masalada aytilganidek to‘ldirilgan. 

a) AB matrisani toping; 

]b) A(E+B

2

) matrisani hisoblang.   

21.  Simmetrik va kvadrat matrisa bo‘lgan n  tartibli A matrisaning o‘ng 

uchburchagi 19-masala shartidagi kabi (n+1)n/2 ta sondan iborat. Shunigdek, n-

tartibli b vektor ham berilgan bo‘lsin. Ab vektorni hisoblang. 

22. Simmetrik  va kvadrat matrisa bo‘lgan n-tartibli A va B matrisalarning o‘ng 

uchburchaklari 19-masala shartidagi kabi (n+1)n/2 ta sonlar yordamida 

to‘ldirilgan.  

a) AB matrisani toping; 

b) A

2

-B

2

 matrisani toping. 

§-21.  SONLI  USULLAR. 

1. x

1

, x

2

, ...x

n

, y

1

, y

2

, ..., y

n

, t

1

, t

2

, ..., t

m

 haqiqiy sonlar berilgan. (x

1 

≤ x

2 

≤...≤ x

n

, x

1 

≤ 

t

i 

≤ x

n 

, i=1,2,..., m). y

i

 sonlar f funksiyaning qiymatlari bo‘lsin, ya’ni y

i

=f(x

i

), i=1, 

2, ..., n. Chiziqli interpolyatsiya yordamida f(t

1

), f(t

2

), ..., f(t

m

) sonlarni toping.     

2. x

1

, x

2

, ...x

n

, y

1

, y

2

, ..., y

n

, haqiqiy sonlar berilgan. Bu sonlar uchun 1-masaladagi 

shartlar o‘rinli. Chiziqli interpolyatsiya yordamida f funksiyaning qiymatlarini 

argumentlarning x

1

, x

1

+h, x

1

+2h, ..., x

1

+kh (bu yerda k soni x

1

+kh≤x

n

 shart o‘rinli 

bo‘lgan k-larning eng kattasi) qiymatlari uchun hisoblang. 

3. n natural soni hamda x

1

, x

2

, ...x

n

, y

1

, y

2

, ..., y

n

, haqiqiy sonlar berilgan bo‘lsin.2-

masalani teng qadamlar uchun, ya’ni h=(x

n

-x

1

)/n bo‘lgan hol uchun yeching. 

4.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Berilgan f(x)=0 tenglamalarning yechimlarini 

teng ikkiga bo‘lish usuli bilan ε aniqlikda toping. Yechim mavjud bo‘lgan oqaliq 

ma’lum. 

a) 

];

2

,

0

[

,

0

5

.

0

)

5

.

0

ln(

=

−

+

+

x

x

 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

67 

 

b) 

];

1

.

1

,

1

[

,

0

2

.

0

5

=

−

− x

x

 

c) 

];

5

.

1

,

1

[

,

0

2

,

1

2

,

0

2

,

0

2

3

=

−

−

−

x

x

x

 

d) 

]

5

.

0

,

2

.

1

[

,

0

2

,

1

4

,

1

4

,

0

8

,

0

2

3

4

−

−

=

−

−

−

+

x

x

x

x

; 

e) 

]

2

,

0

[

,

0

4

cos

3

3

sin

2

2

2

π

=

−

x

x

. 

5.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Quyidagi f(x)=0 tenglamalarning yechimlarini 

vatarlar usuli bilan ε aniqlikda toping. Yechim mavjud bo‘lgan oqaliq berilgan. 

a) 

];

1

,

0

[

,

0

1

2

=

−

⋅

x

x

 

b) 

];

6

.

0

,

5

.

0

[

,

0

5

sin

2

=

−

x

x

 

c) 

];

4

,

0

[

,

0

4

cos

3

3

sin

2

2

2

π

=

−

x

x

 

d) 

];

3

.

1

,

2

.

1

[

,

18

)

)(

4

(

2

=

−

+

− x

x

e

e

x

 

e)  

].

5

.

2

,

1

.

2

[

,

0

15

.

1

8

.

2

)

5

.

0

ln(

3

.

1

2

=

+

−

+

−

x

x

x

 

6. 4- va 5-masalalarda berilgan tenglamalarni teng ikkiga bo‘lish hamda vatarlar 

usuli bilan bir xil ε aniqlikda yeching. ε aniqlikka qaysi bir usulda tezroq 

erishiladi? 

7.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Quyidagi f(x)=0 tenglamalarning yechimlarini 

urinmalar usuli bilan ε aniqlikda toping. Boshlang‘ich yechim berilgan. 

a)  

);

2

.

2

(

,

0

3

2

2

3

=

−

+

−

x

x

x

 

b)  

)

67

.

4

(

,

0

=

− x

x

tg

; 

c)  

);

22

.

0

(

,

0

10

sin

8

.

1

4

=

−

x

x

 

d)  

);

11

(

,

0

000

10

75

3

2

4

−

=

−

+

−

x

x

x

 

e)   

).

31

.

2

(

,

0

20

6

2

3

=

+

− x

x

 

8.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Quyidagi f(x)=0 tenglamalarning yechimlarini 

iterasiya usuli bilan ε aniqlikda toping. Qavslar ichida boshlang‘ich yechim 

ko‘rsatilgan. 

a) 

);

0

(

,

0

1

2

sin

=

−

−

x

x

 

b)  

);

11

.

0

(

,

0

1

4

2

3

=

−

+ x

x

 

c)  

);

32

.

4

(

,

0

8

ln

8

5

=

−

−

x

x

 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

68 

 

d)   

);

17

.

1

(

,

0

25

.

0

sin

=

−

−

x

x

 

e)   

).

6

.

0

(

,

0

1

5

10

5

2

3

=

−

+

+

x

x

x

 

9.  Quyidagi tenglamalar uchun teng ikkiga bo‘lish, vatarlar, urinmalar hamda 

iteratiya usullarni qo‘llang. Barcha usullar uchun, 

ε

≤

)

(x

f

 shart o‘rinli 

bo‘ladigan dastlabki 

x

 topilgandan so‘ng ishni tugating. ε sifatida navbatma-

navbat 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001 sonlarini oling. Olingan natijalarni jadval 

ko‘rinishida ifodalang. Erishilgan  natijalarga ko‘ra, bu usullari baholang.  

a)  

[

]

;

4

.

1

,

6

.

0

,

0

3

2

3

=

−

+ x

x

 

b)  

[

]

;

1

.

1

,

9

.

0

,

0

2

.

0

3

=

−

− x

x

 

c)   

[

]

;

8

.

0

,

6

.

0

,

0

1

5

3

=

−

− x

x

 

d)   

[

]

;

93

.

2

,

9

.

1

,

0

5

2

3

=

−

− x

x

 

e)   

[ ]

.

1

,

0

,

0

1

2

3

4

=

−

−

+

x

x

x

. 

9. Berilgan tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan eching. 

a) 

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

+

=

+

+

=

+

+

14

10

2

2

13

10

2

12

10

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

b) 

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

+

−

=

−

+

=

−

+

20

4

08

.

0

04

.

0

9

15

.

0

3

09

.

0

8

08

.

0

24

.

0

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

c) 

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

+

+

+

−

=

−

+

+

=

+

−

−

=

−

+

−

15

20

2

3

10

20

3

2

0

2

10

0

3

2

10

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

d) 

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

−

=

+

−

+

=

−

+

−

=

+

−

−

=

+

−

+

7

.

4

1

.

2

2

10

1

4

3

15

.

0

2

5

2

1

.

0

1

.

3

4

3

2

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

69 

 

e) 

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

−

−

+

=

−

+

+

−

=

+

−

+

=

+

−

−

79

.

2

42

.

3

41

.

2

33

.

4

87

.

2

33

.

2

76

.

0

14

.

3

75

.

2

19

.

0

16

.

4

71

.

1

15

.

0

23

.

7

27

.

1

32

.

0

61

.

0

942

.

1

87

.

2

13

.

4

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

10.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Quyidagi chiziqli algebraik  tenglamalar 

sistemasining yechimlarini iterasiya usuli bilan ε aniqlikda toping. Buning uchun 

shunday 

)

...,

,

(

)

(

)

(

1

)

(

m

n

m

m

x

x

x

=

 vektorni topish kerakki, 

ε

≤

−

−

)

(

)

1

(

max

k

i

k

i

i

x

x

, 

(i=1, ..., n) shart o‘rinli bo‘lsin. Bu yerda n sistemadagi noma’lmlar soni. 

a)  

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

−

=

+

−

=

+

−

=

2

1

3

3

2

2

3

2

1

02

.

0

01

.

0

5

05

.

0

03

.

0

3

02

.

0

06

.

0

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

        

b)  

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

=

−

−

=

−

−

=

2

1

3

3

1

2

3

2

1

2

.

0

2

.

0

4

.

1

1

.

0

2

.

0

3

.

1

1

.

0

1

.

0

2

.

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

c)  

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

+

−

−

−

=

−

+

−

−

=

+

−

+

−

=

+

−

=

75

.

0

005

.

0

1

.

0

15

.

0

5

.

0

05

.

0

15

.

0

1

.

0

5

.

0

2

.

0

1

.

0

1

.

0

3

.

0

2

.

0

1

.

0

3

2

1

4

4

2

1

3

4

3

1

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

d) 

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

−

=

−

+

−

=

+

−

=

−

−

+

−

=

111

.

1

333

.

0

4

.

0

2

.

0

4

.

0

2

.

0

2

.

0

2

.

0

2

.

0

4

.

0

2

.

0

1

.

0

2

.

0

1

4

4

2

1

3

3

1

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

11. Berilgan integrallarning qiymatini taqribiy integrallash hamda Nyuton-

Leybnits formulalari yordamida hisoblang va olingan natijalarni taqqoslang. 

a) 

∫

2

1

2

x

dx

                        b)  

∫

9

1

x

dx

                         c) 

∫

+

1

0

2

1 x

dx

 

Otaxanov N. A. Dasturlash uchun masalalar to’plami 

 

 

70 

 

d)  

∫

3

0

sin

π

dx

x

               e)  

∫

8

0

3

3

dx

x

                  f)  

∫

7

1

dx

x

e

x

 

12.  ε haqiqiy son berilgan bo‘lsin. Berilgan integrallarni ε aniqlikda hisoblang. 

Buning uchun integrallash oralig‘ini n

i

 ta teng bo‘laklarga bo‘linadi va 

integralning taqribiy qiymati bo‘lgan S

i

 yig‘indi hisoblanadi. Agar 

1

+

i

n

S

uchun 

ε

≤

−

+

i

i

n

n

S

S

1

 shart o‘rinli bo‘lsa ishni tugatish mumkin. Bu yerda n

i



i+1

. 

a) 

∫

+

3

0

2

4

dx

x

          b) 

∫

+

2

,

1

0

3

1

x

dx

                       c) 

∫

+

8

0

4

1 x

dx

  

d) 

∫

−

2

0

4

cos

dx

x

e

x

π

      e) 

∫

−

4

0

2

sin

25

.

0

1

π

x

dx

        f) 

∫

5

0

2

sin

dx

x

e

x

 

Agar Nyuton-Leybnits formulasi yordamida integralning aniq qiymatini hisoblay 

olsangiz, natijalarni taqqoslang. 

13. Berilgan y′=f(x,y) oddiy differensial tenglamalarni yeching. Qavslar ichida x

0

-

argumentning boshlang’ich qiymati, y

0

-funksiyaning  x

0

 nuqtadagi boshlang’ich 

qiymati, [a, b] - tenglama yechiladigan oraliq hamda h-qadamlar ko‘rsatilgan.  

a)  

;

)

15

.

0

],

2

.

5

,

7

.

1

[

,

3

.

5

,

7

.

1

(

,

cos

'

0

0

=

=

=

+

=

h

y

x

y

x

y

π

 

b)  

;

)

3

.

0

],

4

.

11

,

3

[

,

5

,

3

(

,

3

'

0

0

3

2

=

=

=

+

=

h

y

x

y

x

y

 

c)  

;

)

1

.

0

],

6

.

4

,

8

.

1

[

,

5

.

4

,

8

.

1

(

,

2

'

0

0

2

=

=

=

+

+

=

h

y

x

y

x

e

x

y

 

d)  

;

)

005

.

0

],

6

.

0

,

1

[

,

5

.

0

,

1

(

),

1

ln

(

'

0

0

=

=

=

−

=

h

y

x

x

y

x

y

y

 

e)  

;

)

1

.

0

],

1

,

0

[

,

0

,

0

(

,

3

'

0

0

3

2

=

=

=

+

+

=

h

y

x

y

x

y

 

d)  

).

001

.

0

],

1

,

0

[

,

1

,

0

(

,

'

0

0

2

=

=

=

+

=

−

h

y

x

y

e

y

y

x