N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

§8. XOSMAS INTЕGRALLAR

• 
  I tur xosmas integrallar.
  
• 
  II tur xosmas integrallar.
  
• 
  Aralash turli xosmas integrallar.
  

Berilgan y=f(x) funksiyaning aniq integrali tushunchasini ikkita shart bajarilgan holda qaragan edik. Birinchidan, [a,b] integrallash sohasining a va b chegaralari chekli sonlardan iborat deb olingan edi. Ikkinchidan, integral ostidagi f(x) funksiya [a,b] integrallash sohasida chegaralangan deb hisoblangan edi.

Ammo bir qator masalalarni yechishda quyi yoki yuqori chegaralaridan kamida bittasi cheksiz (±∞) yoki integral ostidagi f(x) funksiya integrallash sohasida chegaralanmagan integrallar paydo bo‘ladi. Masalan, y=e^–x, x=0 va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish masalasi [0,∞) cheksiz soha bo‘yicha integral tushunchasini kiritishni va uni hisoblashni taqozo qiladi. Yoki , parabola yoyining uzunligini topish masalasi [0,1] kesmada chegaralanmagan funksiyani integrallash masalasiga keladi.

Shu sababli aniq integral tushunchasini bunday hollar uchun umumlashtirishga to‘g‘ri keladi va bu yerda biz shu masala bilan shug‘ullanamiz.

1. 
   I tur xosmas integrallar. Berilgan y=f(x) funksiya [a, +∞) cheksiz yarim oraliqda aniqlangan va ixtiyoriy chekli b≥a uchun [a,b] kesmada integrallanuvchi , ya’ni
   

integral mavjud bo‘lsin.

1-TA’RIF: y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o‘zgaruvchi F(b) integralning b→+∞ bo‘lgandagi limitiga aytiladi.

y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali

(1)

deb belgilanadi va , ta’rifga asosan,

(2)

kabi aniqlanadi.

Geometrik nuqtai nazardan (1) xosmas integral y=f(x) [f(x)≥0], x=a va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz shaklning yuzasini ifodalaydi.

2-TA’RIF: Agar (2) limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda (1) xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.

(1) xosmas integralni qarashda ikkita masala paydo bo‘ladi.

I. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;

II. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.

Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:

(3)

Bu integralni uch holda tahlil etamiz.

1. 
   Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
   

Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati a^1–α /( α–1) bo‘ladi.

2. 
   Endi α=1 holni tahlil etamiz:
   

.

Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.

3. 
   α<1, ya’ni 1–α>0 holni ko‘rib chiqamiz:
   

.

Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi

chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati S=a^1–α /( α–1) bo‘l gan chekli yuzaga ega (83-rasmga qarang).

a

83-rasm

Aksincha, α≤1 bo‘lganda esa bu geometrik shakllar cheksiz yuzaga ega bo‘ladi.

Ko‘p hollarda (1) xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo‘lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va, yaqinlashuvchi bo‘lgan holda, qiymatini baholash yetarlidir. Bunday hollarda quyidagi teoremalardan foydalaniladi.

1-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤f(x)≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: