N-tartibdagi determinantni hisoblash

n-TARTIBDAGI DETERMINANTNI HISOBLASH.

Keling, ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni olamiz. Ta'rifiga ko'ra, uchun

Birinchi qatorni va bitta ustunni o'chirishda biz bitta elementni o'z ichiga olgan matritsani olamiz, shuning uchun
Ushbu qiymatlarni o'ng tomonga almashtirib, biz ikkinchi darajali determinantni hisoblash formulasini olamiz.

Ikkinchi tartibning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi bilan yon diagonaldagi elementlarning ko‘paytmasi orasidagi ayirmaga teng (2.1-rasm).
Uchinchi tartibli determinant uchun bizda bor
Birinchi qatorni va bitta ustunni o'chirishda biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarning determinantlarini olamiz:
Ushbu ikkinchi tartibli determinantlarni (2.2) formula bo'yicha yozamiz va uchinchi tartibli determinantni hisoblash formulasini olamiz.

Aniqlovchi (2.3) olti hadning yig'indisi bo'lib, ularning har biri turli satrlarda va turli ustunlarda joylashgan aniqlovchining uchta elementining mahsulotidir. Bundan tashqari, uchta atama ortiqcha belgisi bilan, qolgan uchtasi esa minus belgisi bilan olinadi.

Formulani (2.3) eslab qolish uchun uchburchaklar qoidasi qo'llaniladi: asosiy diagonalda va yon tomoni asosiy diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning uchlarida uchta elementning uchta mahsulotini qo'shishingiz kerak (2.2-rasm, a), va yon diagonallarda va yon diagonalga parallel bo'lgan ikkita uchburchakning tepalarida elementlarning uchta mahsulotini ayirish (2.2.6-rasm).
Rasmda ko'rsatilgan hisoblash sxemasidan ham foydalanishingiz mumkin. 2.3 (Sarrus qoidasi): o'ngdagi matritsaga birinchi va ikkinchi ustunlarni belgilang, ko'rsatilgan oltita satrning har biridagi elementlarning mahsulotini hisoblang, so'ngra ushbu mahsulotlarning algebraik yig'indisini toping, elementlarning mahsuloti esa asosiy diagonalga parallel chiziqlar ortiqcha belgisi bilan olinadi va yon diagonalga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlardagi elementlarning mahsuloti minus belgisi bilan (2.3-rasmdagi yozuvga muvofiq).

N> 3 tartibli determinantlarni hisoblash.
Shunday qilib, biz ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni oldik. Siz (2.1) formuladan foydalanib hisob-kitoblarni davom ettirishingiz va to'rtinchi, beshinchi va boshqalarning determinantlarini hisoblash uchun formulalarni olishingiz mumkin. buyurtmalar. Shuning uchun induktiv ta'rif har qanday tartibdagi determinantni hisoblash imkonini beradi. Yana bir narsa shundaki, formulalar noqulay va amaliy hisob-kitoblar uchun noqulay bo'ladi. Shuning uchun yuqori tartibli determinantlar (to'rtinchi va undan ko'p), qoida tariqasida, determinantlarning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda hisoblanadi.
2.1-misol. Determinantlarni hisoblang

Yechim. (2.2) va (2.3) formulalar bo'yicha topamiz;

Determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi
Tartibning kvadrat matritsasi berilgan bo'lsin.
Qo'shimcha kichik element matritsadan o'chirish yo'li bilan olingan tartibli matritsaning determinanti deb ataladi. i-chi qator va j-ustun.
Matritsa elementining algebraik to'ldiruvchisi bu elementning qo'shimcha minoriga ko'paytiriladi.
Teorema 2.1 - determinantni qator (ustun) elementlari bo'yicha kengaytirish formulasi. Matritsaning determinanti elementlarning mahsuloti yig'indisiga teng ixtiyoriy qator(ustun) algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha:
(i-qatorda parchalanish);
(j-ustundagi parchalanish).
Izohlar 2.1.
1. Formulani isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
2. Induktiv ta'rifda (2.1), aslida, birinchi qatorning elementlari bo'yicha determinantni kengaytirish formulasi qo'llaniladi.
2.2-misol. Matritsaning determinantini toping
Yechim. Determinantni 3-qator bo'ylab kengaytiramiz:
Endi biz oxirgi ustundagi uchinchi tartibning determinantini kengaytiramiz:
Ikkinchi tartibning determinanti (2.2) formula bo'yicha hisoblanadi:
Uchburchak matritsaning aniqlovchisi
Yuqori uchburchak matritsaning determinantini topish uchun kengaytirish formulasini qo'llaymiz

Determinantni oxirgi qatorga (n-chi qatorga) kengaytiramiz:
elementning qo'shimcha minori qayerda. Belgilaymiz. Keyin. E'tibor bering, determinantning oxirgi qatori va oxirgi ustunini o'chirishda biz bir xil ko'rinishdagi yuqori uchburchak matritsaning determinantini olamiz, lekin (n-1) --tartibli. Determinantni oxirgi satr bo'ylab ((n-1) th chiziq) kengaytirib, biz olamiz. Davom etilmoqda xuddi shunday va shuni hisobga olib, formulaga kelamiz. yuqori uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
Izohlar 2.2
1. Pastki uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
2. Identifikatsiya matritsasining determinanti 1 ga teng.
3. Uchburchak shakldagi matritsaning aniqlovchisi uchburchak shakldagi determinant deb ataladi. Yuqorida ko'rsatilganidek, uchburchak shaklning determinanti (yuqori yoki pastki uchburchak matritsaning aniqlovchisi, xususan, diagonali) asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng.
Determinantlarning asosiy xossalari (determinantlar)
1. Har qanday kvadrat matritsa uchun, ya'ni. ko‘chirilganda determinant o‘zgarmaydi. Bu xususiyatdan kelib chiqadiki, kvalifikatsiyaning ustunlari va satrlari "teng": ustunlar uchun to'g'ri bo'lgan har qanday xususiyat qatorlar uchun to'g'ri bo'ladi.
2. Agar determinantda ustunlardan biri nolga teng bo'lsa (ustunning barcha elementlari nolga teng), u holda determinant nolga teng:.
3. Ikki ustunni almashtirishda determinant o‘z belgisini teskari tomonga o‘zgartiradi (antisimmetriya xossasi):
4. Agar sifatlovchida ikkita bo‘lsa bir xil ustunlar, u holda u nolga teng:

5. Agar aniqlovchi ikkita proporsional ustunga ega bo'lsa, u nolga teng bo'ladi:
6. Aniqlovchining bir ustunining barcha elementlari songa ko‘paytirilganda aniqlovchi shu songa ko‘paytiriladi:
7. Agar j-ustun determinantning ikki ustun yig'indisi sifatida ifodalanadi, keyin determinant j-ustunlari mos ravishda va bo'lgan ikkita determinantning yig'indisiga teng bo'ladi va boshqa ustunlar bir xil bo'ladi:
8. Aniqlovchi har qanday ustunda chiziqli bo‘ladi:
9. Bir ustunning elementlariga ikkinchi ustunning mos keladigan elementlarini bir xil songa ko‘paytirsak, aniqlovchi o‘zgarmaydi:
10. Determinantning istalgan ustuni elementlarining boshqa ustunning mos keladigan elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi nolga teng:

Izohlar 2.3
1. Aniqlovchining birinchi xossasi induksiya bilan isbotlanadi. Qolgan xususiyatlarni isbotlash ustun elementlari bo'yicha determinantni kengaytirish formulasi yordamida amalga oshiriladi. Masalan, ikkinchi xususiyatni isbotlash uchun determinantni nol ustunning elementlari bo'yicha kengaytirish kifoya (j-ustun nolga teng deb hisoblang, ya'ni):

10-xususiyatni isbotlash uchun determinantni o'ngdan chapga kengaytirish formulasini, ya'ni i-ustun elementlarining ko'paytmalari yig'indisini j-chi elementlarning algebraik to'ldiruvchisi bilan o'qish kerak. ustun determinantning j-ustunida kengayish sifatida ifodalanadi


bunda j-ro ustunining elementlari i-ustunning mos keladigan elementlari bilan almashtiriladi. To'rtinchi xususiyatga ko'ra, bu aniqlovchi nolga teng.
2. Birinchi xossadan kelib chiqadiki, aniqlovchi ustunlari uchun tuzilgan barcha 2-10 xossalar uning qatorlari uchun ham amal qiladi.
3. Aniqlovchini qator (ustun) elementlari va 10-xususiyatlar bo‘yicha kengaytirish formulalaridan foydalanib, shunday xulosaga kelamiz:
4. Kvadrat matritsa bo‘lsin. Bir xil tartibdagi kvadrat matritsa, agar uning har bir elementi matritsa elementining algebraik to'ldiruvchisiga teng bo'lsa, unga nisbatan qo'shma deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, qo'shma matritsani topish uchun quyidagilar kerak:
a) matritsaning har bir elementini uning algebraik to'ldiruvchisi bilan almashtiramiz, bu holda matritsani olamiz;
b) matritsani ko‘chirish orqali bog‘langan matritsani toping.
(2.4) formulalardan kelib chiqadiki, bu erda bir xil tartibdagi birlik matritsasi.
2.5-misol. Blok-diagonal matritsaning determinantini toping, bu erda ixtiyoriy kvadrat matritsa, bir xillik matritsasi va mos tartibdagi nol matritsa transpozitsiya qilinadi.
Yechim. Determinantni oxirgi ustun bo'ylab kengaytiramiz. Ushbu ustunda barcha elementlar nolga teng bo'lganligi sababli, oxirgisi 1 ga teng bo'lganidan tashqari, biz dastlabki bilan bir xil turdagi, lekin pastroq tartibli determinantni olamiz. Olingan determinantni oxirgi ustunga kengaytirib, biz uning tartibini qisqartiramiz. Xuddi shu tarzda davom ettirib, matritsaning determinantini olamiz. Demak,