Namuna: O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar

12- MUSTAQIL ISH TOPSHIRIQLARI.
Differensial tenglamalar sistemasi va uni yechish usullari.
1. Tenglamalar sistemasini Eyler usulida yeching.
Namuna:
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar
- vektor va - o’zgarmas kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
.
O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli differentsial tenglamalarning
(1)
sistemasini o’rganamiz, bu yerda yozuv hosilani bildiradi.
(1) sistemani o’rganishda matritsa va uning determinan-ti muhim ahamiyatga ega, bu yerda birlik matritsa. Kelgusida determinatni xarakteristik ko’phad deb ataymiz.

1. 
   sistemani bir necha usulda yechish mumkin.
   

1-usul. Bu usul noma’lumlarni yo’qotish usuli bo’lib, bunda (1) sistemani, umuman aytganda, yuqoriroq tartibli bitta noma’lum funksiyali tenglamaga keltirish mumkin. Bu usul bilan uncha murakkab bo’lmagan sistemalarnigina yechish mumkin.
2-usul. Bu usulda avvalo
(2)
xarakteristik tenglamaning ildizlarini topish kerak.
Xarakteristik tenglamaning har bir oddiy ildiziga yechim mos keladi, bu yerda - ixtiyoriy o’zgarmas son, esa matritsaning shu ildizga mos kelgan xos vektori.
Agar ildiz karrali bo’lib, unga ta chiziqli erkli xos vektorlar mos kelsa, u holda bu ildizga mos kelgan yechim ko’rinishda bo’ladi.
Agar karrali ildiz uchun ta chiziqli erkli xos vektorlar mav-jud bo’lib, bo’lsa, u holda bu ga mos kelgan yechimni darajali ko’phadning funktsiyaga ko’paytmasi, ya’ni
(3)
ko’rinishda izlash mumkin. koeffitsientlarni topish uchun (3) yechimni (1) sistemaga qo’yish kerak. Tenglamalarning chap va o’ng tomonlaridagi o’xshash hadlarning koeffisientlarini bir-biriga tenglab, noma’lumlarga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Topilgan koeffitsientlarning har biri ko’pi bilan ta ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’lishi kerak.
Ko’rsatilgan ko’rinishdagi har bir uchun yechimlarni topib va ularni qo’shib, (1) sistemaning umumiy yechimini olamiz.
Agar (2) xarakteristik tenglamaning ildizi kompleks son bo’lsa, u holda yuqorida bayon qilingan usullar yordamida olinadigan yechimlar kompleks funktsiyalar bilan yoziladi. Agar bunda (1) sistemaning koeffisientlari haqiqiy sonlar bo’lsa, u holda yechimni faqat haqiqiy funksiyalar orqali ifodalash mumkin bo’ladi. Buning uchun ildizga kelgan kompleks yechimning haqiqiy va mavhum qismlari chiziqli bog’liqsiz yechimlar ekanligidan foydalanish kerak.