Namuna: O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemalar

Misollar:

1. 
   Tenglamalar sistemalarini yeching.
   

◄Berilgan sistemaga mos va matritsalarni yozamiz:
, .
Endi , ya’ni

xarakteristik tenglamani yozamiz. Bu yerda

kubik tenglamaning ildizlari bo’lib, ular oddiy (bir karrali) ildizlardir.
Har bir ildizga mos kelgan yechimni topamiz.
bo’lsin. Bu ildizga mos kelgan yechimni ko’rinishda izlaymiz. va noma’lumlar
, ya’ni
tenglamalar sistemasidan topiladi. Ushbu

tenglamalar sistemasining birorta notrivial yechimi ekanligini ko’rish qiyin emas. Shunday qilib, ildizga mos kelgan yechim ko’rinishda topiladi.
bo’lsin. Bu ildizga mos kelgan yechimni ko’rinishda izlaymiz.
, ya’ni
tenglamalar sistemasini yechib ( ), ildizga mos yechimni yozamiz:
bo’lsin. Bu holda ham yuqoridagi kabi
, ya’ni
tenglamalar sistemasini yechib ( ),
yechimni olamiz.
Shunday qilib, berilgan sistemaning umumiy yechimi
,
ya’ni ko’rinishda yoziladi.►
Tenglamalar sistemalarini yeching (Qavslar ichida xarakteristik tenglamaning ildizlari ko’rsatilgan).
2. ( ).
◄Avvalo matritsani tuzamiz.
bo’lgan holda bu ildizga mos kelgan yechim oldingi misoldagi kabi topiladi:
Berilgan tenglamalar sistemasining ildizga mos keladigan kompleks yechimini topamiz. va kompleks sonlarni
, ya’ni
tenglamalar sistemasidan topamiz: SHuning uchun berilgan tenglamalar sistemasining ,
echimini


ko’rinishda yozib olamiz.
Ma’lumki, olingan yechimning haqiqiy va mavhum qismlari alohida-alohida berilgan tenglamalarning yechimlari bo’ladi.
SHunga ko’ra, berilgan sistemaning ikkita haqiqiy yechimlarini olamiz:


Topilgan yechimlarning chiziqli bog’liqsiz ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Shunday qilib, dastlabki berilgan tenglamalar sistemasining umumiy yechimi


ko’rinishda topiladi.►.
3.
◄Avvalo matritsani tuzamiz.
oddiy ildizga mos keladigan yechimni topish qiyin emas:
.
karrali ildiz bo’lgan holga alohida to’xtalamiz.
Berilgan sistemaning tartibi ga teng. Xarakteristik tenglama ildizining karraliligi teng.

matritsaning rangi ga teng. Chiziqli bog’liqsiz xos vektorlar soni ga teng.
ildizning karraliligi chiziqli bog’liqsiz xos vektorlar soniga teng bo’lganligi uchun bu ildizga mos kelgan yechimni darajali ko’phadning funktsiyaga ko’paytmasi, ya’ni ko’ri-nishda izlaymiz.
Bu yechimni berilgan sistemaga qo’yib, o’xshash hadlar oldidagi koeffi-tsientlarini bir-biriga tenglab,

chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistema yechimga ega, bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmaslar. Shunga binoan, ildizga mos kelgan yechim

ko’rinishda bo’ladi, bunga yuqorida topilgan ildizga mos kelgan yechimni ham qo’shib, berilgan sistemaning umumiy yechimini yozamiz:
.►