Непреривный и дискретный спектр главадвухчастичного оператора шредингера на одномерной решетке

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ДВУМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Всюду в дальнейшем относительно потенциала предполагается, что принимает вещественные значения и удовлетворяет условию

При этом условии гамильтониан является ограниченным, самосопряженным оператором в пространстве

Теорема 3.1. Пусть Тогда для любого подпространство является инвариантным относительно оператора
Теорема 3.2. Пусть потенциал удовлетворяет условию и отличен от нуля. Тогда дискретный спектр оператора не пуст.

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ДВУМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия и ]. Тогда оператор имеет однономерное инвариантное подпространство

Теорема 3.4. Для любого имеет место неравенство

Кроме того, если то ширина и
Теорема 3.5. Пусть - положительный оператор. Тогда для любого оператор также является положительным.
Теорема 3.6. Предположим, что одно частичный оператор имеет виpтуальный уpовень в нуле. Тогда для любого ненулевого оператор имеет собственные значения ниже непрерывного спектра. При выполнении

наименьшее собственное значение оператора будет невырожденным.

ГЛАВА 3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ДВУХЧАСТИЧНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ДВУМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕ

Теорема 3.7. Пусть Тогда для любого оператор имеет бесконечное число собственных значений вида Более того, из них только - невырожденное, а остальные двухкратные собственные значения. Собственным значениям и соответствуют собственные функции
Теорема 3.8. Пусть и Тогда при больших имеет место неравенство