Nisbiy chastota

Laplasning integral teoremasi.


Yana faraz qilaylik, n tajriba oʻtkazilayotgan boʻlib, ularninghar birida A hodisaningfroʻyberish ehtimoli oʻzgarmas va p ga (0
teng boʻlsin. n ta tajribada A hodisaning kamida k₁ ta va koʻpi bilan k₂ marta roʻy berish ehtimoli P_n (k₁,k₂) ni qanday hisoblash mumkin. Bu savolga
Laplasning integral teoremasijavob beradi, u quyida isbotsiz keltiriladi.

Teorema. Agar har bir sinashda a hodisaning roʻy berish ehtimolip oʻzgarmas boʻlib, nol va birdan farqli boʻlsa, u holda n ta sinashda A hodisaning k₁ dan k₂ martagacha roʻy berish

ehtimoli P_n (k₁,k₂) taqriban quyidagianiq integralga teng:


^P
z ²
_n ^(k₁ ^{, k}₂ ^{) ~} _∫ ^e一 ^{2 dz,}


bu yerda


_,
x = va x = .
^{k1 一 np} _, ^{k2 一 np}
npq npq

Laplasning integral teoremasini qoʻllashni taqazo etuvchi masalalarni yechishda maxsus

я ^{2
jadvaldan foydalaniladi, chunki} _∫ ^e一 ^{2 вя}
aniqmas integral elementar funksiyalar orqali


i
1 ^一

x ^{z 2}
fodalanmaydi. ^{Ф(x) =} _2π ^{e 2 dz} integral uchun jadval keltirilgan. Jadvalda Ф(х)
^{funksiyaningx ning musbat qiymatlariga vax=0 ga mos qiymatlari berilgan; x<0 boʻlganda ham}
shu jadvaldan foydalaniladi (Ф(х) funksiya toq, ya’ni Ф(-х)=- Ф(х)) .


^{Jadvalda integralning x=5 gacha boʻlgan qiymatlari berilgan, chunki x>5 lar uchun Ф(x)}
funksiyakoʻpincha Laplas funksiyasideyiladi.

Laplas funksiyasi jadvaldan foydalanish mumkin boʻlishi uchun

^P
_{1 一} ^z 2
_n ^(k₁ ^{, k}₂ ^{) ~} _{2π ∫} ^{e 2 dz}


munosabatnioʻzgartiramiz:


^{Pn (k1 ;k2 ) 心 e}一 ^{dz + ∫ e}一 ^{dz =
=}
₁ ^{x /} _一 ^z 2 ₁ ^{x /} _一 ^z 2
_2π ^{e 2 dz 一} _2π ^{e 2 dz = Ф(x/) 一 Ф(x/)}

Shunday qilib, ntaerkli sinashdaA hodisaning k1 dank2 martagacharoʻyberish ehtimoli

P_n (k₁ ;k₂ ) 心 Ф(x^/) 一 Ф(x^/) ,


_/
bu erda x = va x = .
^{k1 一 np} _/ ^{k2 一 np}
npq npq


Laplasning integral teoremasini qoʻllashga doir misollar keltiramiz.


^{Misol. Detalnitexnikaviy kontrolboʻlimi (OTK) tekshirmagan boʻlish ehtimolip=0,2. Tasodifiy}
olingan 400 ta detaldan 70 tadan 100 tagachasini OTK tekshirmagan boʻlish ehtimolini toping.

Yechish. Shartgakoʻrap=0,2; q=0,8; n=400; k₁ =70; k₂ =100.

Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz:


P₄₀₀ (70;100) 心 Ф(x^/) 一 Ф(x^/)


b
npq npq

_/ ^{k1 一 np} _/ ^{k2 一 np}
u yerga x = va x = .
Integralning yuqoriva quyi chegaralarinihosoblaymiz:


^{x/ =} k1 npq ⁼ 7 40040 ₂. ) ^{= 一 1,25;}
_/
x = = = 2,5
^{k2 一 np 100 一 400 . 0,2}
npq 400 . 0,2 . 0,8


Shunday qilib, quyidagini hosil qilamiz:


P₄₀₀ (70;100) = Ф(2,5) 一 Ф(一1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

Jadvaldan (2-ilova) quyidaginitopamiz:

Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944
Izlanayotgan ehtimol:


P₄₀₀ (70;100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882

Misol. Hodisanng 100 ta erkli sinovning har birida roʻy berish ehtimoli oʻzgarmas boʻlib, p=0,8 ga teng. Hodisaning: a) kamida 75 marta va koʻpi bilan 90 marta; b) kamida 75 ; v) koʻpi bilan

74 martaroʻyberish ehtimolini toping.

Yechish. Laplasningushbu integral teoremasidan foydalanamiz :

P_n (k₁ ;k₂ ) = Ф(х^,) 一 Ф(х^,)


Bu yerda Ф(х) –Laplas funksiyasi,


_,
x = , x =
^{k1 一 np} _, ^{k2 一 np}
npq npq


a)Shartgakoʻran=100; p=0,8; q=0,2; k₁ =75; k₂ =90. x, va x, nihisoblaymiz:


_{x, =} ^k1 ^{一 np} ₌ ^{75 一 100 . 0,8} _{= 一 1,25;}
npq 100 . 0,3 . 0,2
_{x, =} ^k2 ^{一 np} ₌ ^{10 一 100 . 0,8} _{= 2,5}
npq 100 . 0,2 . 0,8


Laplasning funksiyasi toq, ya’ni Ф(一х) = 一Ф(х) ekanligini hisobga olib, quyidagini hosil
qilamiz:


P₄₀₀ (75;90) = Ф(2,5) 一 Ф(一1,25) = Ф(2,5)+ Ф(1,25).

Jadvaldan (2- ilova) quyidaginitopamiz:

Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.


Izlanayotgan ehtimol:


P₄₀₀ (75;90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882


b) Hodisaning kamida 75 marta roʻy berishtalabi hodisaning roʻyberish soni 75 ga, yo 76 ga, ... , yoki 100 ga teng boʻlishini anglatadi. Shunday qilib, qaralayotgan holda k₁ =75; k₂ =100 deb
qabul qilish lozim. U holda
^{x/ =} k1 npq ⁼ 100 10..) ^{= 一1,25;
x/ =} k2 npq ⁼ 110 _.02 .0)8 ^{= 5}
Jadvaldan (2-ilova) quyidaginitopamiz:


Ф(5)=0,5; (1,25)=0,3944.


Izlanayotgan ehtimol:


P₄₀₀ (75;100) = Ф(5) 一 Ф(一1б25) = Ф(5)+ Ф(1б25) = 0,5+ 0,3944 = 0,8944 .


v)”A kamida 75 martaroʻyberdi” va “A koʻpibilan 74 martaroʻyberdi” hodisalari qarama-
qarshidir, shuninguchun bu hodisalarning ehtimollariyigʻindisibirga teng. Demak, izlanayotgan
ehtimol:


P₁₀₀(0;74) = 1 一 P₁₀₀(75;100) = 1 一 0,8944 = 0,1056 .


^{Misol. 6 ta mator bor. Har bir matorning tayin vaqtda ishlab turgan boʻlish ehtimoli 0,8}
gateng. Shutayin vaqtda 4 tamatorishlab turgan boʻlish ehtimolini toping?


^{Yechish: Sexdagi 6 ta matorning har birining ishlab turish ehtimoli oʻzgarmas va p=0,8 ga teng.}
U holda matorning ishlamaslik ehtimoli esa:


q=1-p=1-0, 8=0,2 gateng.

Izlanayotganehtimol Bernulli formulasiga koʻra quyidagiga teng boʻladi:

P₆ (4) = C6 . p⁴ . q² = . (0,8)⁴ . (0,2)² = 0,245


^{Masala. Oilada 10 tabolabor. Oʻgʻil va qiz bola tugʻilishehtimollariteng 0,5 deb}
hisoblab oilada 5taoʻgʻilbola tugʻilish ehtimolitopilsin.


Yechish. P₁₀ (5) = C1₀p ⁵ q ⁵ = C1₀ . ^{(| 1 )}_|10 = ⁶³ 心 0,246
（2 ) ²⁵⁶


Masala. Tangauch martatashlandikamida 2 marta gerb tomontushish ehtimolitopilsin.


Yechish.
P₃ (2) + P₃ (3) = C p3 ² q + C p3 ³ q ⁰ = 3 . ^{(| 1 )}_|2 ¹ + 1 . ^{(| 1 )}_|3 = ^{1 (| 3} + ^{1 )}_| = ¹ . 2 = ¹ = 0,5
（2 ) ² （2 ) 4（2 2 ) <sup>4 2


Misol.100 ta stanok bir-biriga bogʻliqsiz ishlaydi shu bilan birga smena davomida</sup>
ularning har birining toʻxtovsiz ishlash ehtimolligi 0,8 ga teng.Smena davomida 75 dan 85 ta
gacha stanok betoʻxtovishlash ehtimolligini toping?
Yechish:


Masala shartiga koʻra n=100; p=0,8; q=0,2; K₁ =75; K₂ =85


Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz.


P_n (K_1, K₂) = Ф(X`)- Ф(X``)


bu yerda Ф(X)-Laplas funksiyasi.


^{х , = k} 1npq ^{x, =} k2 npq


Shartgakoʻra X^` vaX nihisoblaymiz.


_{x, =} ^k1 ^{一 np} ₌ ^{75 一 100*0,8} _{= 一 1,25}
npq 100*0,8*0,2


_{x, =} ^k2 ^{一 np} ₌ ^{85 一 100*0,8} _{= 1,25}
npq 100*0,8*0,2


Laplas funksiyasi toq ya’ni Ф(-X)=- Ф(X) ekanligini hisobga olib quyidagini hosil qilamiz


P₁₀₀ (75;85) = F(1,25) 一 F(一1,25) = F(1,25)+ F(1,25) = 2*F(1,25)


Jadvaldan quyidagilarni topamiz:


F(1,25)=0,3944


Izlanayotgan ehtimol


P₁₀₀ (75,85) = 2*0,3944 = 0,7888

Masala: Korxonada ishlab chiqilgandetalning yaroqsiz boʻlish ehtimoli 0,005 gateng.

10.000 ta detaldan iborat partiyadagi yaroqsiz detallar soni 40 taboʻlish ehtimolini toping.

Yechish: Shartgakoʻrap=0,005, q=0,995; n=10.000; K=40

Laplasning lokalteoremasidan foydalanamiz.

P
npq
_n (K) = ¹ *Q(x)


= = 7,05


_{X =} ^{K 一 np} ₌ ^{40 一 10.000 * 0,005} _{= 一1,42}
npq 7,05


Jadvalga asosan:


Q(一X) =Q(X) juft funksiya


Q(X) = Q(一1,42) = Q(1,42) = 0,1456


Demak, izlanayotgan ehtimol:


_{P10.000 (40) =} ^0,1456 _{= 0,0205
7,05}


^{Masala. Agar A hodisaning har bir sinovda roʻy berish ehtimoli 0,75 ga teng boʻlsa, bu}
hodisaning 500 ta sinovdarosa 370 martaroʻyberish ehtimolitopilsin.


Yechish: Masala shartiga koʻra:


n=500, k=370, p=0,75, q=1-p=0,25


k
x = = = 一0,5
一 np 370 一 500 . 0,75

4 4

500 .
npq 3 1