Nisbiy chastota

Yechish:


A-uzilgan ipningrangliboʻlish hodisasi boʻlsin.


^{U holda A hodisaning roʻy berishiga qulaylik tugʻdiruvchi hodisalar soni 15ga, roʻy berishi}
mumkin boʻlganbarcha hodisalar soniesa 30+15=45 gateng.


Demak, n=45; m=15


^{P(A) =} n ⁼ 45 ⁼ 3


Misol. Kutubxonada 10 ta turli kitob bor, bundan beshta kitobning har biri 4 soʻmdan, uchta kitob bir soʻmdan, ikkita kitob 3 soʻmdan turadi. Tavakkaliga olingan ikkita kitobning
bahosi 5 soʻmdan boʻlish ehtimolini toping.

Yechish: Sinashning mumkin boʻlgan elementartajriba jami soni 10 takitobdan 2 tasini olish

_{usullari С}10 _{soniga teng.}


A hodisa deb – olingan 10 takitobdan ikkitasining bahosi 5 soʻm boʻlishiga qulaylik tugʻdiruvchi
^{tajribasoninihisoblaymiz. Ikkitakitobning bahosi besh soʻm boʻlish hollarini С}5 ^{. С}3 ^yoki
С2 ^{. С}3 ^{tausul bilan olish mumkin. Demak, qulaylik tugʻdiruvchitajribasoni С}5 ^{. С}3 ^{+ С}2 ^{. С}3 ^ga
teng.


Izlanayotganehtimolhodisaga qulaylik tugʻdiruvchitajribalar soniningbarcha elementlar
tajribalar soniga nisbatigateng:


_P
10
_{(A) = = =}


^{Misol. Idishda 10 ta qizil rangli va 4 ta koʻk rangli shar bor. Tavakkaliga shu idishdan}
ketma-ket 2 ta shar olinadi. Olingan ikkala sharningham qizilboʻlishehtimolitopilsin.


^{Yechish: m = C}10 ^{n = C}14


_m
P(A) = = = =
_C ² _{10 . 9 45}
n C₁₄ 14 . 13 91


^{Misol. 20 tamahsulot orasida 5 tayaroqsiz mahxsulot bor. Tekshirish uchuntavakkaliga}
2 tamahsulottanlandi. Shular orasida 1 tasiyaroqsiz boʻlish ehtimolitopilsin.


^{Yechish. 2 tamahsulotni 20 tadan С}20 ^{tausul bilan tanlash mumkin. 1 tayaroqsiz
mahsulotniesa 5 tamahsulot ichidan С}5 ^{tausul bilan tanlash mumkin.}


₂ )+ ... + P(A_n ) .
^{Misol. Yashikda 30 ta shar bor, ulardan 10 tasiqizil,5 tasi koʻkva 15 tasioq. Rangli shar}
chiqish ehtimolini toping.

Yechish. Rangli shar chiqishi yo qizil shar, yokikoʻk shar chiqishini bildiradi.Qizil shar chiqish (A hodisa) ehtimoli.

Koʻk shar chiqish (B hodisa) ehtimoli:P(A) = 30 = 3 .
<sup>P(B) = = .


A va B hodisalar birgalikda emas (birrangli shar chiqishi boshqa rangli shar chiqishini</sup>
yoʻqqa chiqaradi), shuninguchun qoʻshish teoremasini qoʻllash mumkin.


P(A+ B) = P(A)+ P(B) = + = .


Misol. Mergan uchta sohaga ajratilgan nishonga qarata oʻq uzmoqda. Uninh birinchi sohaga tegish ehtimoli 0,45, ikkinchi sohaga tegish ehtimoli 0,35. Medrganning bitta oʻq
uzishda yo birinchi sohaga, yoki ikkinchi sohagategish ehtimolini toping.

Yechish. A- “mergan birinchi sohaga tekkizdi” va B- “mergan ikkinchisohaga tekkazdi” hodisalari birgalikda emas (oʻqning bir sohagategishi boshqa sohagategishiniyoʻqqa chiqaradi),

shuninhuchun qoʻshish teoremasini qoʻllash mumkin. Izlanayotgan ehtimol quyidagiga teng:


P(A+ B) = P(A)+ P(B) = 0,45+ 0,35 = 0,8 .

Misol. Ishchi 5 ta dastgohda ishlaydi. U ishvaqtining 20% ni birinchidastgoh oldida, 10% ini

^{ikkinchidastgoh oldida, 15% iniuchinchi, 25% ini toʻrtinchiv qolgan 30% ni deshinchidastgoh}
oldida oʻtkazadi.
Laplasning lokal teoremasi.


nta sinashda hodisaningrosa kmartaroʻyberish ehtimolini hisoblashga imkon beradigan Bernulli formulasini koʻrdik. Bernulli formulasini n ning katta qiymatlarida qoʻllash qiyin,
chunki formula katta sonlar ustida amallar bajariashni talab qiladi. Masalan, n=50, k=30, p=0,1


^{b
50! _{30 20}
oʻlsa, u holda P}₅₀ ^{(30) ehtimolini hisoblasg uchun P}₅₀ ^{(30) = (0,1) (0,9) ifodani}
30!.20!
hisoblashga toʻgʻri keladi., bu erda
50!= 30414093 . 10⁵⁷ , 30!= 26525286 . 10, 20!= 24329020 . 10¹¹ . Toʻgʻri, faktariallar
logorifmlari maxsus jadvallaridan foydalanib, bu hisoblarni bir oz soddalashtirish mumkin. Ammo bu yoʻl ham yzundan- uzoq hisoblashlarni talab qiladi, undan tashqari, u judayam qiyinchilikka ega: jadval logarifmlarning taqribiy qiymatlaridan tuzilgan, shuning uchun hisoblashlarda xatolar yigʻilib boradi: pirovardida hisoblangan natija haqiqiy natijadan ancha
farq qilishimumkin.

Bizni qiziqtirayotgan ehtimolni Bernulli formulasini qoʻllamasdan hisoblash ham mumkinmi? Ha, mumkin ekan. Laplasning lokal teoremasi sinashlar soni yetarlicha katta boʻlganda

hodisaning n ta tajribada rosa k marta roʻyberish ehtimolinitaqribiy hisoblash uchun asimptotik
f (x)
formula beradi.(Agar lim = 1 bo`lsa, Q(x) funksiya f(x) funksiyaning asimptotik
^n喻伪 Q(x)
yaqinlashishideyiladi).

Loplasning lokal teoremasi. Agar har bir sinashda A hodisaning roʻy berish ehtimoli p oʻzgarmas boʻlib, nol va birdan faqli boʻlsa, u holda n ta sinashda A hodisaning rosa k marta

roʻyberish ehtimoli P_n (k) taqriban (nqanchakatta boʻlsa,shuncha aniq)


_{y =} ¹ _. ¹ _e一 ₌ ¹ _.Q(x)
npq 2π npq


^{k 一 np}
f
npq
unksiyaning x = dagiqiymatigateng.
Q
x ²
(x) = ¹ e一 ² funksiyaningx argumentning musbat qiymatlaridantuzilganjadvallar mavjud
2π
^{(1- ilova) Q(x) funksiya juft, ya’ni Q(一x) =Q(x) boʻlganligi uchun bu jadvallardan}
argumentning qiymatlari manfiy boʻlganda ham foydalaniladi.


^{Shunday qilib, n ta erkli sinashda A hodisaning rosa k marta roʻy berish ehtimoli taqriban}
quyidagiga teng.:


^{1 k 一 np}
P
npq npq
_n (k) 心 .Q(x), buyerda x = .
^{Misol. Agar har bir sinashda A hodisaning roʻy berish ehtimoli 0,2 ga teng boʻlsa, 400 ta}
sinashdabu hodisaningrosa 80 martaroʻyberish ehtimolini toping.

Yechish. Shartgakoʻra n=400; k=80; p=0,2; q=o,8. Laplasning asimptotik formulasidan

foydalanamiz:


_P
400 . 0,2 . 0,8 ⁸
_{400 (80) 心} ¹ _{.Q(x) =} ¹ _.Q(x).
xning masala ma’lumotlari orqalianiqlanadigan qiymatinihisoblaymiz:


k
x = = ^, = 0.
一 np 8 一 一400 . 0 2
npq ⁸

Jadvaldan (1- ilova) Q(0) = 0,3989ekanliginitopamiz.

Izlanayotgan ehtimol:


P₄₀₀ (80) = . 0,3989 = 0,04986


^{Misol. Agar A hodisaning harbir sinashdaroʻyberishehtimoli 0,6 gateng boʻlsin, bu hodisaning}
2400 ta sinovda 1400 martaroʻyberish ehtimolini toping.


Yechish. nkatta son boʻlganiuchun Loplasning lokalteoremasidan foydalanamiz:


P
npq
_n (k) 心 ¹ .Q(x)ю
x nihisoblaymiz:


^{k 一 np 1400 一 2400 . 0,6 40}
x
npq 2400 . 0,6 . 0,4 ²⁴
= = = 一 = 一 1,67.
Q
x ²
(x) = ¹ e一 ² funksiya juft boʻlganligiuchun Q(一1,67) = Q(1,67) .
2π
Jadvaldan (1- ilova) Q(1,67) = 0,0989 ni topamiz.