Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti boshlang’ich ta’lim fakulteti III kurs 304 talabasi Ro’ziyeva Fayozaning “Oliy matematika” fanidan tayyorlaga taqdimoti

4. Sonli ketma-ketlikning limiti va uning xossalari
1-ta’rif. Istalgan   0 son uchun unga bog’liq bo’lgan N son topilsaki,
barcha n  N lar uchun xn  a  
tengsizlik bajarilsa, a songa xn  ketma-
ketlikning n   dagi limiti deyiladi va
lim xn  a ёки n   да xn  a
n
simvollar bilan belgilanadi. Chekli limitga ega sonli sonli ketma-ketlikka, yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
Limitning ta’rifiga misol qaraymiz.
Limitning ta’rifidan foydalanib,
lim
n
n n  1
 1 ekanligini ko’rsatamiz. Istalgan   0son olamiz.
n 1  n  n 1  1
n  1 n  1 n  1
x 1 
n
bo’lganligi uchun,
xn 1   tengsizlikni qanoatlantiruvchi n larning qiymatini
topish,
n 1
1
  tengsizlik bilan bog’liq va 1   (n  1) ёки n  1   bo’ladi.

sonning butun qismini olish mumkin, ya’ni

Shuning uchun N sifatida 1 
  
N  1    bњladi.
Bu holda
n
x 1   tengsizlik hamma n  N lar uchun
bajariladi. Masalan,   0,1 bo’lsin, bu holda
n  10  N  9
0,1   0,1

N  1  0,1  0,9  9.
bo’lsin. Bunda
10
10  10
10  1 11
x 
bo’lib,
11 11
10
x 1  10 1  1    0,1.
Shunday qilib n=10 dan boshlab, hamma n lar uchun tengsizlik bajariladi.
1  0,1
x10
Demak, lim
n
n n  1
 1 tenglik o’rinli bo’ladi.
Boshqa bir necha   0 lar olib, qaysi raqamlardan boshlab, tengsizlikning bajarilishini ko’rsatishni o’quvchiga havola etamiz.
Eslatma 1. xn  sonlar ketma-ketligi biror a limitga ega bo’lsa, uni
n  xn  a cheksiz kichik miqdor ko’rinishida ifodalash mumkin, chunki   0
son uchun shunday N topiladiki, n  N lar uchun
n  xn  a  
tengsizlik bajariladi. SHuning uchun a limitga ega bo’lgan xn sonlar ketma- ketligini
xn  a  n
ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda  n cheksiz kichik ketma-ketlik.
2-ta’rif.   0 biror musbat son bo’lsin. xn  a   tengsizlik hamma n
lar uchun bajarilsa, xn  sonlar ketma-ketligi a nuqtaning  atrofida deyiladi.
2-eslatma. Ma’lumki xn  a  
tengsizligi
   xn  a   yoki a    xn  a  
tengsizlik bilan teng kuchli bo’lib, xn element a nuqtaning  atrofida bo’ladi.
Shuning uchun, xn  ketma-ketlikning
limitini quyidagicha ham ta’riflash
mumkin:- a nuqtaning  atrofi uchun shunday N raqamni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, hamma n  N lardan boshlab, hamma xn elementlar a nuqtaning 
atrofida bo’lsa, a songa xn  ketma-ketlikning limiti deyiladi.
3-eslatma. Ma’lumki cheksiz katta ketma-ketlik limitga ega emas yoki uni cheksiz limitga ega deyiladi va
lim xn  
n
bilan belgilanadi. Ketma-ketlikning limitini cheksiz limitdan farq qilishi uchun chekli limit ham deb yuritiladi.
Eslatma. Tushunarliki, har bir cheksiz kichik ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti а  0 ga teng.