Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti boshlang’ich ta’lim fakulteti III kurs 304 talabasi Ro’ziyeva Fayozaning “Oliy matematika” fanidan tayyorlaga taqdimoti

Cheksiz kichik ketma-ketliklar quyidagi xossalarga ega.
2-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketliklarning algebraik yig’indisi yana
Isbot. {n } va n  cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. Bu cheksiz kichik
ketmk-ketliklar uchun, istalgan  son uchun N1 raqam topiladiki, n  N1 lar
uchun, 
n
2
tengsizlik, N n  N
2 2
raqam topiladiki, lar uchun 
   
2 n
tengsizliklar bajariladi. N  maxN1 , N2  desak, n  N lar uchun birdaniga

n
n
  ,    tengsizliklar bajariladi. Shunday qilib,
2 2
 
     
    
2 2
n n n
n
bњladi.
ketma-ketlik bo’ladi.
Bu n  n  ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini bildiradi.
Natija. Istalgan chekli sondagi cheksiz kichiklarning algebraik yig’indisi yana cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
3-teorema. Ikkita cheksiz kichik ketma-ketlikning ko’paytmasi, cheksiz kichik
Isbot. {n } va n  lar cheksiz kichik ketma-ketliklar bo’lsin. n  n  ketma-ketlikning cheksiz kichikligini isbotlash talab etiladi. {n } cheksiz kichik bo’lganligi uchun, istalgan   0 son uchun shunday N1 raqam topiladiki, n  N1
lar uchun
n   , n  cheksiz kichik ketma-ketlik bo’lganligi uchun  1
uchun
shunday N2 topiladiki n  N2 lar uchun
n  1,
bajariladi.
N  maxN1 , N2  deb olsak, n  N lar uchun ikkala tengsizlik ham bajarilib,
n  n  n  n   1  
bo’ladi. Bu n  n  ketma-ketlikning cheksiz kichikligini bildiradi.
Natija. Istalgan sondagi cheksiz kichiklarning ko’paytmasi yana cheksiz kichik bo’ladi.
Eslatma. Ikkita cheksiz kichiklarning nisbati cheksiz kichik bo’lmasligi mumkin,
n n
n n
masalan,   1 , 
 1
cheksiz kichiklarning nisbati hamma elementlari 1
n2
 1
n
n n
lardan iborat chegaralanlan ketma-ketlikdir.   1 , 
cheksiz kichik
 n 
  
ketma-ketliklarning nisbati  n   n bo’lib, cheksiz katta ketma-ketlik hosil
 1
n
n
n
n2
bo’ladi.   1 , 
 
 n 
  n
n  1 
bo’lsa, ularning nisbati  cheksiz kichik
bo’ladi.
4-teorema. Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlikka ko’paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo’ladi. (Bu teoremaning isbotini o’quvchiga havola qilamiz).