Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika va matematika fakulteti

1-misol. Ikkinchi tartibli chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin. Uning aylana ekanligini ko’rsating hamda markazini va radiusini toping.
Yechish. va li hadlar bo’yicha to’la kvadratlar ajratamiz: , yoki bo’ladi. Bu aylananing kanonik tenglamasidir. Uning markazi , nuqtada, radiusi bo’ladi.
3. Ellips hamda uning tenglamasi. Ta’rif. Tekislikda, har bir nuqtasidan berilgan ikkita nuqtalargacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas miqdordan iborat bo’lgan nuqtalar geometrik o’rniga ellips deyiladi. Berilgan nuqtalar va bo’lsin. Bu nuqtalarga ellipsning fokuslari deyiladi. O’zgarmas miqdorni , fokuslar orasidagi masofani bilan belgilab, koordinatlar sistemasini shunday olamizki, o’qi fokuslardan o’tsin va koordinatlar boshi masofaning o’rtasida bo’lsin (10-chizma). ellipsga tegishli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, ta’rifga ko’ra (3) bo’ladi. Ma’lumki, va bo’lib, ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga asosan: tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamadan irratsionallikni yo’qotib, ko’rinishga keltiramiz. bilan belgilaymiz (chunki, > ). Bu holda (4) tenglamani hosil qilamiz. (4) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
Koordinatlar boshi, ellipsning simmetriya markazi, koordinatlar o’qi simmetriya o’qlari bo’ladi. nuqtalar ellipsning uchlari, masofalar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o’qlari deyiladi.
Shunday qilib, ellips ikkita simmetriya o’qiga, simmetriya markaziga ega bo’lgan yopiq egri chiziqdir.
kattalik ellipsning ekstsentrisiteti deyiladi. Aylanani ellipsning bo’lgan xususiy holi deb qarash mumkin.
nuqtadan fokuslargacha bo’lgan masofaga ellipsning fokal radiuslari deyiladi, ularni va bilan belgilasak, bo’ladi.
2-misol. ellipsning yarim o’qlarini, fokuslarini va ekstsentrisitetini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani 400 ga bo’lib, ko’rinishga keltiramiz. Bu
tenglamadan bo’lib, yarim o’qlari mos ravishda bo’ladi.
Ma’lumki, bo’lib, bo’ladi. Demak, fokuslari
va nuqtalarda bo’ladi. Ekstsentrisiteti esa, .