Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti o‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mustaqil ish

Mashqlar. Quyida Mohr konstruksiyalarining tavsifi berilgan. Ular to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring. Nima uchun ular Mascheroni muammosini hal qiladi, deb bahslash mumkin?

Mascheroni natijalaridan ilhom olib, Jeykob Shtayner (1796-1863) faqat bitta o'lchagich yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan konstruktsiyalarni o'rganishga harakat qildi. Albatta, o'lchagichning o'zi sizni berilgan raqamli maydon chegarasidan tashqariga olib chiqmaydi va shuning uchun barcha geometrik konstruktsiyalarni klassik ma'noda bajarish etarli emas. Ammo Shtayner tomonidan kiritilgan cheklov bilan erishilgan natijalar yanada diqqatga sazovordir - kompasdan faqat bir marta foydalanish. U tekislikdagi sirkul va chizg‘ich yordamida bajarilishi mumkin bo‘lgan barcha konstruksiyalarni markazga ega bo‘lgan yagona qo‘zg‘almas aylana bo‘lishi sharti bilan bir o‘lchagich yordamida ham bajarish mumkinligini isbotladi. Ushbu konstruktsiyalar proyektiv usullardan foydalanishni nazarda tutadi va keyinroq tavsiflanadi (228-betga qarang).
* Siz doirasiz va bundan tashqari, markazsiz qilolmaysiz. Masalan, aylana berilgan, lekin uning markazi ko'rsatilmagan bo'lsa, unda bitta o'lchagich yordamida markazni topish mumkin emas. Endi biz buni keyinroq aniqlanadigan haqiqatga (252-betga qarang) murojaat qilib, buni isbotlaymiz: tekislikning o'ziga shunday o'zgarishi borki, a) berilgan aylana harakatsiz qoladi, b) har bir to'g'ri chiziq ketadi. to'g'ri chiziqqa, ) bilan qo'zg'almas aylananing markazi qo'zg'almas, balki siljiydi. Bunday transformatsiyaning mavjudligi ma'lum bir doira markazini bitta o'lchagich yordamida qurish mumkin emasligidan dalolat beradi. Aslida, qurilish jarayoni qanday bo'lishidan qat'i nazar, u to'g'ri chiziqlar chizish va ularning bir-biri bilan yoki berilgan doira bilan kesishish joylarini topishdan iborat bo'lgan bir qancha alohida bosqichlarga bo'linadi. Keling, tasavvur qilaylik, butun figura bir butun sifatida aylana bo'lib, markazni qurishda o'lchagich bo'ylab chizilgan barcha chiziqlar o'zgarishlarga duchor bo'ladi, biz bu erda mavjudligini taxmin qildik. Shunda transformatsiyadan keyin olingan raqam ham qurilishning barcha talablarini qondirishi aniq; lekin bu rasmda ko'rsatilgan konstruktsiya berilgan aylananing markazidan boshqa nuqtaga olib keladi. Bu ko'rib chiqilayotgan qurilishning mumkin emasligini anglatadi.

Yasash postulatlarini keltiramiz, ya`ni biz yasashni qaysi

qadamlarini bajarilgan deb hisoblashimiz mumkin.
P1. Yasalgan ikki nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziq yasalgandir.
P2.Markazi yasalgan nuqtada, radiusi uchlari yasalgan nuqtalardan iborat bo`lgan kesma uzunligidan iborat aylana
yasalgandir.
P3.Ikki parallel bo`lmagan yasalgan to`g`ri chiziqlarning kesishish nuqtasi yasalgandir.
P4.Yasalgan to`g`ri chiziqning va aylananing kesish nuqtalari
yasalgandir.
P5.Ikki yasalgan kesishuvchi aylananing kesish nuqtalari
yasalgandir. Endi biz umumiy ko`rinishda sirkul va chizg`ich yodamida yasashga doir masalaning qo`yilishi ta`rifini keltiramiz. Bizga chekli sondagi asosiy yasalgan figuralar berilgan bo`lib yasash lozim bo`lgan izlanayotgan F figurani ta`riflovchi asosiy xossalari ifodalangan bo`lsa, P1 P5 postulatlarni chekli sonda qo`llab F asosiy figurani yasash talab qilinadi. Ta`kidlaymizki, bu ta`rifda chekli sondagi amallar bajarilish juda muhimdir.
Biz Yevklid tekisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilan
shug’ullanamiz. Tekislikda yasashga doir masalalarni yechishda
odatda yasash qurollaridan sirkul va chizg’ich ishlatiladi. Yasashga doir masalalarni chizg’ich va sirkul yordamida yechishda chizma praktikasida qo’llaniladigan chizg’ich va sirkul emas, balki abstrakt .chizg’ich va sirkul e’tiborga olingan. Bu qurollarning konstruktiv imkoniyatlari quyidagi ikki aksioma bilan ifoda qilinadi:
1.Yasash uskunalari bular sirkul va chizg`ichdir. Chizg`ich
birliklarga ajratilmagan bo`lib, uning yordamida faqat ikki yasalgan nuqtadan o`tgan to`g`ri chiziqni o`tkazish mumkin.
2.Sirkul yordamida markazi yasalgan nuqtada va radiusi yasalgan kesma uzunligiga teng bo`lgan aylanani chizish mumkin.
Izoh: Eslatamizki, yasashga doir masalalarni yechishda ba`zida yasalgan figuralar to`g`ri chiziq, aylana, nurga va kesmaga tegishi yoki tegisli bo`lmagan nuqtalarni ixtiyoriy olishga to`g`ri keladi. Bu oraliq yordamchi yasalgan nuqtalarni tanlab olish shart tufayli bajariladi. Bu tegishli va tegishli bo`lmagan nutqalarni olish mumkinligini P1-P5 yasash postulatlari yordamida quyidagicha asoslaymiz.