Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti pedagogika va psixologiya fakulteti «psixologiya» kafedrasi

A n(xi3)3
Симметрик тақсимотларда А=0 бўлади.
Эксцесс кўрсаткичи қуйидаги формула орқали топилади:

En(xi4)4 3
Симметрик тақсимотларда Е =0 бўлади.

Чапёқлама, мусбат асимметрия


Манфий эксцесс.
Мисол. Бизга қуйидаги кўринишга эга тақсимот қатори берилган. Мазкур тақсимот қатори нормал кўринишга қанчалар яқин эканини текшириб кўрсак.

№	хi	(xi - µ)	(xi - µ)2	(xi - µ)3	(xi - µ)4
1	11	0,94	0,884	0,831	0,781
2	13	2,94	8,644	25,412	74,712
3	12	1,94	3,764	7,301	14,165
4	9	-1,06	1,124	-1,191	1,262
5	10	-0,06	0,004	0	0
6	11	0,94	0,884	0,831	0,781
7	8	-2,06	4,244	-8,742	18,009
8	10	-0,06	0,004	0	0
9	15	4,94	24,404	120,554	595,536
10	14	3,94	15,524	61,163	240,982
11	8	-2,06	4,244	-8,742	18,009
12	7	-3,06	9,364	-28,655	87,677
13	10	-0,06	0,004	0	0
14	10	-0,06	0,004	0	0
15	5	-5,06	25,604	-129,554	18,009
16	8	-2,06	4,244	-8,742	1725,467
жами	161		102,944	30,468

Жадвалдаги ҳисоб-китобларга киришишдан аввал бизлар ўртача арифметик қийматни топишимиз зарур бўлган.
xi n
бунда, х_i - хоссанинг алоҳида кузатилаётган қиймати, n – кузатувлар миқдори.
µ = 161/16=10,06 Стандарт оғиш эса:
(x_i )²

 n1
бунда, х_i - хоссанинг алоҳида кузатилаётган қиймати, µ - ўртача арифметик қиймат, n – кузатувлар миқдори.
102.944

   6.893  2.62
161
Асимметрия ва эксцесс ҳамда уларнинг репрезентативлик хатолари қуйидаги формулалар асосида топилади:
(x_i )³ n

E  ni 4)4 3
6

m_e 2 n
бунда, (х_i - µ)- марказий қийматга нисбатан бўлган оғишлар, σ – стандарт оғиш, n- синалувчилар сони.
A_ 30.4683 _0.106
162.62
6

m_a   0.61
16
E 3 0.711
6

m_e  21.22
16
Эмпирик тақсимотларнинг нормал тақсимотлардан муқаррар фарқ қилишлари учун уларнинг асимметрия ва эксцесс кўрсаткичлари ўзларининг репрезентативлик хатосидан уч ёки ундан ортиқ баробарга ошиши зарурлигини тақозо қилади: A

t_a  3 m_a E
t_e  3 m_e
бизнинг мисолда:

0.106
t_a  0.61  0.174

0.711
t_e  0.583
1.22
Иккала кўрсаткич ҳам ўзларининг репрезентативлик хатосидан уч баробар ортиқ эмаслиги, бундан эса ушбу хоссанинг тақсимоти нормал тақсимотдан муқаррар даражада фарқ қилмаслиги кўриниб турибди.
Энди Е.И Пустыльник томонидан таклиф этилган формула бўйича текшириб кўрамиз.
Ak _ 3_ 6(n 1)
(n 1)(n 3)

Ek  5 (n241n)2(n(n_23))_(n(n_35))
бунда n –кузатувлар сони бизнинг холда:
6(16 1) 90
Ak _ 3_{ } 3_{ }1.58
(16 1)(16 3) 323

Ek  5 (1624161)2(16(16_23))_(16(16_35))  5 11531169888  3.89
_
А_эмп = 0,106 Аэмп< Ак
Е_эмп= -0,711
Еэмп< Ек
Н.А.Плохинский ва Е.И.Пустыльник мезонлари бир ҳил натижа берди, яъни хоссанинг тақсимоти нормал тақсимот қатордан муқаррарлик даражасида фарқ қилмаслигини кўрсатди.
Мавзу бўйича саволлар

1. 
   Боксплот қандай тузилади?
   
2. 
   Тақсимланиш асимметрияси қандай ҳисобланади?
   
3. 
   Тақсимланиш эксцесс кўрсаткичлари қандай ҳисобланади?
   
4. 
   Нормал тақсимот график тарзда ифоданганда қандай кўринишга эга бўлади?
   
5. 
   Мусбат асимметрия нимага боғлиқ?
   
6. 
   Манфий асимметрия нимага боғлиқ?
   

ТАВСИЯ ЭТИЛАДИГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ:

1. 
   Кричевен А.Н, Шикин Е.В, Дьячков А.Г. Математика для психологов. М. 2003 г.
   
2. 
   Сидоренко Е.Н Методы математической обработки в психологии. Речь, СПб, 2000 г.
   
3. 
   Нишонова З.Т, Қаршиева Д.С. “Экспериментал психология” Т:2007.
   
4. 
   Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. СПб., Речь, 2004.
   
5. 
   Боровиков В. Статистика. Искуство анализа данных на компьютере. СПб., 2003.
   
6. 
   Суходолский Г.В. Математические методы психологии. СПб., 2003.
   
7. 
   Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. М., 2003.
   

6-мавзу. Нормал тақсимланиш назариясининг амалий жиҳатлари
Режа:

1. 
   Стандарт нормал тақсимланиш тушунчаси.
   
2. 
   Бош кўплик ўртачаси учун ишончлилик чегаралари.
   
3. 
   Параметрик ва нопараметрик мезонлар тўғрисида умумий тушунча.
   

Таянч сўзлар: нормал тақсимланиш, мода, медиана, ўртача, дисперсия, стандарт оғиш, параметрик мезон, нопараметрик мезон.
Танламадаги маълумотларнинг нормал тақсимланганлигидан гувоҳлик берувчи кўрсаткичлар қуйидагилардир:

• 
  танламанинг симметрик тақсимланганлиги (гистограмма ёки боксплот усулида кўргазмали тарзда ифодалаш мумкин).
  
• 
  Медианна ва ўртача қиймат бир бирига тенг ёки жуда яқин.
  
• 
  Ассиметрия ва эксцесс кўрсаткичлари нолга яқин қийматга эга.
  

Боксплот усулида маълумотларни тақдим этишда медианна, квартиллар орасидаги масофа ҳамда тақсимланиш лимити кўргазмали тарзда акс эттирилади.
Боксплотларни тузишда қуйидагиларга эътиборни қаратиш лозим:

1. 
   Қуйи ва юқори квартилларни қийматларини аниқлаш. Q₁; Q₃
   
2. 
   Квартиллар орасидаги масофани аниқлаш ΔQқQ₃-Q₁ 3. Ҳаддан юқори ва ҳаддан паст бўлган қийматларни топиш.
   

Юқори сакровчилар-булар Q₃+1,5ΔQ дан то Q₃+3ΔQ диапазонда ётувчи танламалардир.
Пастки сакровчилар-булар Q₁-3ΔQ дан то Q₁-1,5ΔQгача диапазонда ётувчи танламалар ҳисобланади.

4. 
   Экстремал қийматларни аниқлаш.
   

Юқори экстремал қийматлар булар Q₃+3ΔQ дан катта бўлган кўрсаткичлар ҳисобланади.
Қуйи экстремал қийматлар булар Q₁-3ΔQ дан паст бўлган кўрсаткичлар олинади.

5. 
   Максимал ва минимал тўғри тузатилган қийматларни аниқлаш.
   

Тўғри тузатилган максимал кўрсаткичлар бу юқори сакровчи ҳам, юқори экстремал ҳам бўлмаган энг катта сондир.
Тўғри тузатилган минимал кўрсаткичлар бу пастки сакровчи ҳам, қуйи экстремал ҳам бўлмаган энг кичик сонлардир.

6. 
   Ордината ўқлари бўйича медиананинг кўрсаткичларини, юқори ва қуйи квартилларни, экстремал кўрсаткичларни, тўғри тузатилган максимал ва минимал кўрасткичларни жойлаштирамиз.
   

Горизонтал чизиқлар бўйича кесмаларни бир бирининг тагига жойлаштирамиз.
Кесмалар юқори ва қуйи квартилларга мос келади, улар тўғри тўртбурчак шаклига келади. Бу тўғритўртбурчакда кесма ва медина ҳам мавжуд.
Максимум кўрсаткичларга мос келадиган кўрсаткичлар юқори квартиллар билан ўрта перпиндикуляр орқали бирлаштирилади.
Қуйи кўрсаткичлар эса қуйи квартиллар билан бирлаштирилади.
Сакровчилар (О) ва экстремал кўрсаткичлар эса (Е) билан
белгиланади
Бу қуйидагилардир:

Квартилла р		Кўрсатк ичлар		Рост
Min			160
Q1			163
Q2			168
Q3			172,5
Max			182
ΔQ=Q3-Q1			8,5
Q3+1,5ΔQ			185,25
Q3+3ΔQ			198
Q1-3ΔQ			147
Q1-1,5ΔQ			159,75

Юқорида келтирилган ҳолатлардан қуйидаги хулосаларга келиш мумкин:

1. 
   Кўпгина ҳолларда психологик тадқиқотлар нормал тақсимланишга яқин кўрсаткичларга эга бўлиши мумкин.
   
2. 
   Нормал тақсимланиш кўпгина ҳолларда тўлиқ симметрик бўлмайди (ўнг тамонлама ёки чап томонлама ассиметрия бўлиши мумкин).
   

Мисол тариқасида машҳурликни аниқлаш саволномаси бўйича олинган маълумотларнинг частотали таҳлилини келтириш мумкин.

Разрядларн инг номери	Синфлар орасидаги интерваллар	Тестдан ўтганларнинг сони
1	2,5 - 2,9	2
2	3 - 3,4	0
3	3,5 - 3,9	2
4	4 - 4,4	2
5	4,5 - 4,9	3
6	5 - 5,4	3
7	5,5 - 5,9	7
8	6 - 6,4	7
9	6,5 - 6,9	8
10	7 - 7,4	17
11	7,5 - 7,9	22
12	8 - 8,4	17
13	8,5 - 8,9	22
14	9 - 9,4	13
15	9,5 - 9,9	8
16	10 - 10,4	13

Чизиқли графикларнинг афзаллиги шундаки, улар исталган иккита нуқта орасидаги «эгри чизиқ остидаги майдон» тўғрисида фикр юритишга имкон беради. Бунда:
майдон Х маълумотлар сони Х маълумотлар сони (фоизи)= эҳтимол. Ушбу малоҳазалардан қуйидаги хулосаларга келиш мумкин:

1. 
   Психологик ўлчовлар аксарият ҳолда қисман нормал тақсимланишга эга бўладилар.
   
2. 
   Нормал тақсимланган маълумотлар аксарият ҳолларда тўлиқ симметрик шаклни ҳосил қилмайди (ўнг тамонлама, чап тамонлама ассиметрия ҳолатлари кузатилади).
   
3. 
   Амалда ихтиёрий равишда танланган ҳар қандай майдон ёки тақсимланишда мавжуд бўлган иккита қиймат орасидаги масофани аниқлаш мумкин.
   

Стандарт нормал тақсимланиш ва Z қийматлари учун эҳтимоллар жадвали.
Энди биз тест натижаларига кўра 7-9 баллар орасидаги қийматларга эга бўлган талабаларнинг неча фоизга тенглигини ҳисоблашга уриниб кўришимиз мумкин.
Агар биз эгри чизиқ остидаги барча майдон юзаси 1 га тенг деб фараз қилсак, у ҳолда 7 ва 9 қийматлари орасидаги майдон юзаси 7-9 баллга эга бўлган талабаларнинг фоизларидаги нисбий қийматига тенгдир, шу билан бирга бу фоиз янги бир талабанинг 7-9 баллар орасидаги бир қийматга эга бўлиш эҳтимолини ҳам акс эттиради.
Демак, асосий масаламиз 7 ва 9 баллари орасидаги эгри чизиқ остидаги майдоннинг юзасини ҳисоблашдан иборат. Бунинг иккита йўли бор:

• 
  Жуда мураккаб ҳисоблашларни амалга ошириш (яъни интегрални ҳисоблаш) лозим.
  
• 
  Ҳар қандай реал ўзгарувчининг қийматлари билан боғлиқ майдоннинг юзасини ҳисоблашга ёрдам берадиган махсус жадвалдан фойдаланиш.
  

Бундай жадвал ҳақиқатда мавжуд бўлиб ўта мураккаб ҳисоб-китобларни амалга ошириш заруратини йўққа чиқаради. Бу z қийматларининг эҳтимоллари жадвалидир. Бироқ бу жадвалнинг салбий томони шундаки, ундан фойдаланиш учуш:

• 
  Бизнинг ўзгарувчимиз нормал тақсимланишга эга деб қабул қилишга мажбурмиз.
  
• 
  Ушбу ўзгарувчининг ўртача арифметик қиймати ва стандарт оғишидан фойдаланиб, керакли қийматларни z қийматларига айлантиришимиз лозим. Бу ерда гап z ҳарфи билан номланадиган ўртача қиймати 0 га, стандарт оғиши эса 1 тенг бўлган стандарт нормал тақсимланиш ҳақида бораяпти. 
  

Ўртачадан (0 дан) z қийматигача бўлган оралиқ

«Эгри чизиқ остидаги майдон юзаси»