Normal taqsimot qonuni normal taqsimot dispersiyasi

NORMAL TAQSIMOT DISPERSIYASI
REJA:

1. 
   NORMAL TAQSIMOT QONUNI
   
2. 
   NORMAL TAQSIMOT DISPERSIYASI
   

Normal taqsimot qonuni quyidagi taqsimlanish zichligi funksiyasi deb yuritiluvchi formula bilan ifodalanadi:

Demak, normal taqsimoti egri chizig`i arifmetik o`rtacha va dispersiyaga bog`liqdir. Tanlanma asosida tuzilgan xaqiqiy taqsimotning ushbu normal taqsimot qonuniga muvofiqligini aniqlash uchun bu xaqda gipoteza bildiriladi va u K.Pirson Х² (xi kvadrat) mezoni yordamida tekshiriladi.

Shunday qilib, xaqiqiy (empirik) taqsimotni normal taqsimot qonuniga muvofiqligi xaqidagi gipotezani tekshirish uchun xaqiqiy taqsimot takrorlanishlari sonini normal taqsimot nazariy takrorlanishlar soni bilan solishtirish kerak. Buning uchun xaqiqiy ma`lumotlar asosida normal taqsimlanish uchun nazariy takrorlanishlar sonini aniqlash kerak, ya`ni
(13)
bu yerda: n - tanlanma xajmi;
i - qator oraliq kengligi (i_гр қ x_max - x_min);
xaqiqiy qatorda belgining normalashtirilgan tavofutlari;
 -o`zgarmas son ( қ3,1415...; (aylanma uzunligining diyemetrga nisbati);
ye - natural logarifm asosi, o`zgarmas son (е қ 2,71828...);
S - kvadratik o`rtacha tafovut,
- qiymatlari maxsus jadvalda berilgan.
Х² - ning qiymatlari noldan cheksizgacha o`sishi mumkin. Shunga mos ravishda uning extimoli 1 dan 0 gacha kamayadi. Agarda Х<sup>2</sup> қ 0 bo`lsa, u vaqtda ya`ni guruxning xaqiqiy birliklar soni normal taqsimot nazariy soniga teng bo`ladi.

Erkin darajalar soni to`plam parametrini topishda qatnashadigan miqdorlarning umumiy sonidan shu miqdorlarni bog`lovchi shartlar sonini ayrilganiga teng. Masalan, dispersiya bitta shart (ya`ni bilan bog`langan n - ta ayirma bo`yicha xisoblangani uchun uning erkin darajalar soni ( q n-1 bo`ladi, o`rtacha miqdorlar xech qanday shart bilan bog`lanmagan n - ta varianta bo`yicha xisoblanadi, shuning uchun o`rtacha miqdor ozodlik darajasi ( q n bo`ladi.

Normal taqsimot qonuni uchta (tanlanma xajmi - n, tanlanma o`rtacha miqdor -(x va uning kvadratik tavofuti - S) parametr bilan xarakterlanadi (ularning o`zaro bog`lanishi bu qonun uchun uchta shart xisoblanadi). Shuning uchun normal taqsimot qonunining erkin darajalar soni ( q n - 3 bo`ladi yoki n birliklar K - ta guruxlarga bo`lingani uchun
 q K - 3 (16)
Bu jadvaldagi X2 ning qiymatlari chegara qiymatlar bo`lib, bu qiymatlargacha bo`lgan X2 mezonning barcha xisoblab topilgan qiymatlari aniq extimollar bilan tasodifiy tavofutlar doirasida bo`ladi, ya`ni qabul qilingan nol gipotezaga shubxa qilish uchun xech qanday asos bo`lmaydi. X2 ning jadval qiymatlaridan katta bo`lgan qiymatlari gipotezaning o`rinsizligini ko`rsatadi, ya`ni nol-gipotezani rad etishga majbur qiladi.

Xaqiqiy taqsimot birliklari soni bilan uning nazariy sonlari orasidagi farqlarni A.N.Kolmogorov va N.V.Smirnov tomonidan taklif etilgan  (lamda) noparametrik mezon yordamida xam baxolash mumkin.Bu mezon xaqiqiy taqsimot jamlama birliklar soni bilan ularning nazariy jamlama soni orasidagi eng katta farqni kvadrat ildiz ostidagi umumiy to`plam soniga bo`lish yo`li bilan aniqlanadi:

(20).
X2 mezonidan farqli o`laroq -mezon va S larni xisoblashga muxtoj эмас, natijalarni baxolash uchun esa maxsus jadval talab qilmaydi. Lamda mezonining kritik (standart) qiymatlari tegishli uchta ishonchli extimol bo`sag`alariga belgilangan bo`lib, lamda mezonining kritik (chegara) qiymatlari Р₁қ0,95 da _nazarқ1,36, Р₂ қ0,99 да _nazar 1,63 va Р₃ қ 0,999 да _nazar қ 1,95 teng¹.
Xaqiqiy va nazariy taqsimotlarni Romanovskiy mezoni yordamida xam baxolash mumkin. U quyidagicha ifodalanadi:
(21)
Bu yerda Х² - K.Pirson mezoni;
 - erkin darajalar soni.
С  3 bo`lsa, solishtirilayotgan miqdorlar orasidagi farq tasodifiy xisoblanadi, demak, xaqiqiy taqsimot normal taqsimlanishga ega, aniqrog`i, undan deyarlik farq qilmaydi.
Agarda sinalayotgan gipoteza biror miqdorga teng bo`lsa, ya`ni , у (х-а) xolda t-mezonning xaqiqiy qiymati baxolanayotgan farqni tanlanma o`rtachaning standart (kvadratik o`rtacha) xatosiga bo`lish yo`li bilan topiladi:

Bu yerda: katta tanlanmada
kichik tanlanmada

Agarda t_xaq  t_kritik бўлса, nol-gipoteza Н₀ rad qilinadi, agarda t_xaq  t_kritik bo`lsa, u Н₀ inkor etilmaydi.

Tajriba-eksperimental ishlarda asosiy maqsad nazorat va tajriba qilinadigan obyektlarda belgining arifmetik o`rtacha darajalari orasida muxim farq bor yoki yo`qligini aniqlashdan iborat bo`ladi. Buning uchun tajriba va nazorat obyektlarida o`rtacha ko`rsatkichlar orasidagi farq uchun uning standart xatosi quyidagi formula orqali aniqlanadi:



Bu yerda: - tajriba obyektlarida o`rtacha ko`rsatkichning standart xatosi q nazorat obyektlarida o`rtacha ko`rsatkichning standart xatosi .

26. 
    formula tanlanma to`plamlar o`zaro bog`liq bo`lmaganda, ya`ni ular bir bosh to`plamdan olinganda qo`llanadi.
    

Tajriba va nazorat obyektlarining o`rtachalari orasidagi farqning muximligini baxolash uchun t-mezonning xaqiqiy qiymati quyidagi ifodaga ega.

Bu mezonning kritik qiymati Styudent taqsimot jadvalidan tegishli ishonchli extimol va ozodlik darajalari soni bilan belgilanadi. Qo`limizda mazkur jadval bo`lmasa uch sigma qoidasidan foydalanib, t_jadv Q 3 deb qabul qilinadi.

Dispersion taxlil

Bizni qiziqtiruvchi ko`rsatkich yoki jarayonga ta`sir etuvchi omillarning xar birining ta`sir ulushini aniqlash yoki ularning barchasini birgalikda ta`sirini belgilash - dispersion taxlil vazifasi xisoblanadi.

Dispersion taxlil - o`rganilayotgan omillar ta`siri ostida yuzaga chiqqan belgi o`zgaruvchan-ligini noma`lum sabab-larga ko`ra kuzatilayotgan o`zgaruvchanlik bilan taq-qoslab, omillar rolini baxolash usulidir.

Bu taxlil jarayonida belgining xisobga olingan va olinmagan xilma-xil omil va kuchlar ta`siridan kelib chiqadigan umumiy dispersiyasi (o`zgaruvchanligini), ayrim omillarning xususiy dispersiyasi ya`ni o`rganilayotgan omillar ta`siri ostida yuzaga kelgan o`zgaruvchanlik va qoldiq dispersiya, ya`ni noma`lum sabablarga ko`ra ro`y berayotgan o`zgaruvchanlik xaqida axborotlar xosil bo`ladi.
YA`ni ; ;
Bu formulalarning maxrajida dispersiyalarning erkin darajalar soni olingan bo`lib, ularni e`tiborga olish dispersiyalarni taqqoslab taxlil qilishda g`oyat muxim rol o`ynaydi.
Agar X ning kuzatilgan qiymatlarini normal taqsimlangan biror bosh to`plamdan olingan tasodifiy tanlanma deb xisoblash mumkin bo`lsa, u холда <sub></sub><sup>2</sup> va <sup>2</sup> dispersiyalarni Fisher F-mezoni bilan taqqoslash mumkin.
F - mezonning xaqiqiy kuzatish ma`lumotlari asosida xisoblab topilgan qiymati dispersiyalarning tegishli erkin darajalar sonlari bilan qabul qilingan muximlik darajasida uning kritik qiymati bilan taqqoslanadi. Katta va kichik dispersiyalarning turli erkin darajalar sonlari va 0,01, 0,05 va 0,10 muximlilik darajalari uchun F - mezon kritik qiymatlari maxsus «Fisher F kriteriyning qiymati» degan jadvalda keltiriladi.
Agar qabul qilingan muximlilik darajasida F - mezonning xisoblab topilgan xaqiqiy qiymati jadval qiymatidan katta bo`lsa, ya`ni F_xaq  F_jadval , u vaqtda taqqoslanayotgan omillar dispersiyasi va qoldiq dispersi orasidagi farq мухим xisoblanadi, nol-gipoteza esa rad etiladi. Agar F_xaq  F_jadval bo`lsa, ular orasidagi farq tasodifiy deb topiladi va nol-gipoteza tasdiqlanadi.
Dispersion taxlil yo`li bilan ikki va undan ortiq omillarning natijalarga ta`sirini xam baxolash mumkin. Buning asosi bo`lib ikkita va undan ortiq belgilarga qarab tuzilgan kombinatsion guruxlash xizmat qiladi. Masalan, ikki omilli dispersion taxlil qilish uchun umumiy variatsiya 4 ta tarkibiy qismlarga ajratiladi:
(35)

Bu yerda: i - ₁ omil - belgi bo`yicha j guruxdagi va ₂ omil - belgi k - guruxdagi birlik tartib soni;

х_jk - x - natijaviy belgining jk - guruxdagi o`rtacha qiymati; jk - gurux <sub>1</sub> omilning j qiymati va <sub>2</sub> omilning k - qiymati birikmasi asosida vujudga keladi;
х<sub>j</sub> - <sub>1</sub> omil - belgi bo`yicha tuzilgan j - guruxda x - belgining o`rtacha qiymati;
x<sub>k</sub> - <sub>2</sub> omil - belgi bo`yicha tuzilgan k - guruxda x - belgining o`rtacha qiymati;
 - butun tanlanma bo`yicha x - belgining umumiy o`rtacha qiymati;
n<sub>jk</sub> - <sub>1</sub> omilning j - qiymati va <sub>2</sub> - omilning k - qiymati birikmasidan xosil bo`lgan guruxdagi birliklar soni;
n_j - ₁ omil-belgi bo`yicha j - guruxdagi birliklar soni;
n<sub>k</sub> - <sub>2</sub> omil-belgi bo`yicha k - guruxdagi birliklar soni;
n - birliklarning umumiy soni

Xar bir farqlar kvadratlarining yig`indisi uchun erkin darajalar soni quyidagicha topiladi:

barcha omillar dispersiyasi uchun

va umumiy dispersiya uchun:
₁ қ n - 1
qoldiq dispersiya uchun:
₂ қ n - mp.

Bu erkin darajalar sonlarini xisobga olib muximlik darajasini belgilab F - mezonning kritik qiymatlari maxsus jadvaldan belgilanadi. Nol gipotezalar bildirib, ularni rad qilish yoki qilmaslik masalasi F_xaq  F_jadval yoki F_xaq  F_jadval qarab yechiladi.

F - mezon asosida regressiya tenglamasining shakli, ko`pomilli korrelyatsion taxlilda u yoki bu o`zgaruvchan miqdor (omil belgi)ning statistik muximligi xaqidagi va boshqa masalalar yechiladi.

Qisqacha xulosalar

Tanlanma tekshirish nazariyasi taxliliy statistikada aloxida o`rin egallaydi va turli amaliyot soxalarida keng qo`llanadi. Bozor iqtisodiyoti muxim xodisa va jarayonlarni o`rganishda bu uslubdan foydalanish uchun obyektiv sharoit va zaruriyat yaratadi.
Katta xajmli yoki umuman cheksiz to`plamlar xaqida kam mexnat va mablag` sarflab nazariy va amaliy jixatdan qoniqarli axborotlarni olish yo`li - bu tanlanma kuzatishdir. Tanlanma ma`lumotlari asosida :
bosh to`plam taqsimotlari aniqlanadi;
ularning xarakteri o`rganiladi va turli egri chiziqlar shaklida matematik ifodalanadi;
bosh to`plamning barqaror ko`rsatkichlari baxolanadi;
ularning ishonchlilik darajasi iloji boricha obyektiv belgilanadi;
bosh to`plam ko`rsatkichlari xaqidagi ilmiy gipotezalar va xar xil eksperimental izlanish natijalari tekshiriladi.
Bu masalalarni yechish tartibi, yo`llari va usullari tanlanma tekshirish nazariyasida bayon etiladi.
Tanlanma asl ma`nosi bilan tasodifiy, ma`lum tartibda yo`naltirilgan va aralashma-quralashma bo`lishi mumkin. Tasodifiy tanlash aloxida axamiyatga sazovor bo`lishining sababi shundaki, olinadigan natijalar extimoliy muzokaralar shaklida baxolanishi mumkin.
Kuzatuvchining shaxsiy xoxishi kabi subyektiv xolat mavjudligi tanlanma siljish xafv-xatarini tug`diradi va muntazam xatoga olib keladi, shuning uchun oldini olishga intilish lozim.
Xar bir xolda tanlash usuli va texnikasini qo`llash ayni xolat sharoitiga va mablag` xamda resurslar bilan ta`minlanishga bog`liq. Agar tanlash tasodifiy bo`lmasa, u xolda undan olinadigan bosh to`plamni baxolash natijalarining ishonchliligi ma`lum daraja shaxsiy muloxazalar ta`sirida bo`ladi.
Oddiy tanlash sharoitida xodisaning tanlama bo`yicha olingan nisbiy soni yoki salmog`ini bosh to`plam uchun baxolash sifatida qabul qilish mumkin. Xuddi shuningdek, o`rtacha va boshqa ko`rsatkichlarning tanlanma qiymatlari ularning bosh to`plamdagi qiymatlarining baxolari sifatida qabul qilish mumkin.
Katta xajmli tanlanmalarda xodisaning absolyut soni uchun kvadratik xato , nisbiy soni (xissasi) esa va o`rtacha miqdor uchun formula orqali aniqlanadi. Bu formulalar normal taqsimlangan bosh to`plam uchun o`rinlidir. Ammo bosh to`plam taqsimlanishi normal xolatdan kuchli farq qilsa, bu formulalardan foydalanish bir oz xatarlidir.
Kuzatilgan xodisa soni yoki ko`rsatkich qiymati nazariy kutilayotganidan farqi 3 kara kvadratik xatodan katta bo`lish extimoli juda kichikdir. Bunga asosan tanlanma tekshirish natijalariga tayanib bosh to`plam ko`rsatkichlari yotadigan chegarani baxolash mumkin:

Bu yerda: , t - extimolli ishonch koeffitsiyenti.
Kichik xajmli tanlanmalarda (n  30) yuqoridagi kvadratik xato formulalariga tuzatish kiritish lozim. Buning uchun tanlama to`plam xajmi n o`rniga n - 1 olish kerak, chunki tanlama dispersiya bosh dispersiyadan nҒn-1 ga farq qiladi.
Ilmiy gipotezalarni tekshirish tanlanma tekshirish nazariyasiga tayanadi va turli mezonlar yordamida bajariladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:

1.