«Олий математика» кафедраси

Na’munali variant


1 – masala. tenglamani umumiy yechimini topilsin.
Yechish: Bu tenglama o'zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglamadir. Uni quyidagicha yozamiz:



tenglamani ikkala tomonini integrallaymiz:

Natijada
Javobi:
2 – masala tenglamani umumiy yechimi topilsin.
Yechish: Berilgan tenglama bir jinsli tenglama bo'lganligidan uni quyidagicha yozamiz:

Bunda almashtirish bajaramiz

U holda berilgan tenglama:

Buni integlallab ni hosil qilamiz.
Bundan
Javobi:
3 – masala.

tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish: Berilgan tenglama to'la differentsial tenglama bo'lganligi uchun, uni quyidagicha va deb olamiz

bo'lganligidan





4 – masala

Yechish: Bu differentsial tenglama chiziqli tenglama bo'lganligi uchun Bernulli usulida yechamiz. Echimni y=u•v ko'rinishda izlaymiz.

Bundan

ni hosil qilamiz.
Sistemaning birinchi tenglamasini integrallab: ni
hosil qilamiz. V=(x) – ni qiymatini ikkinchi tenglamaga qo'yib:
=
ni hosil qilamiz. Bundan u=x+c bo’ladi. u va v ning topilgan qiymatlarini y=u·v ga qo'ysak, umumiy yechim
bo’ladi. boshlang'ich shartni qo'llasak, C=0 hosil

bo'ladi. Unda Koshi masalasini yechimi

Javobi:
5 – masala tenglamaning y(2)=-5 , y'(2)=-1 boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish: Bu tenglamani tartabini pasaytirish yo'li bilin yechamiz:
Bu qiymatlarni berilgan tenglamaga qo'ysak:

o'zgaruvchilarini ajratamiz:


ixtiyoriy o'zgarmasni boshlang'ich shartdan topamiz:
yoki
Bundan S₁=0 C ning qiymatini oxirgi tenglamaga qo'ysak hosil bo'ladi.
Buni integrallasak: ga ega bo'lamiz.
ni hisobga olib ni hosil qilamiz.



Demak,