«Олий математика» кафедраси

1-tartibli chiziqli tenglama.

Birinchi tartibli differensial tenglama chiziqli deyiladi, agar u va larni birinchi tartibda o`z ichiga olsa, yani

ko`rinishda bo`lsa.
Agar bo`lsa, u holda berilgan tenglama

ko`rinishdagi chiziqli bir jinsli tenglamaga keladi. Bu tenglamani o`zgaruvchilari ajraluvchi tenglama bo`lib uning yechimi.

ko`rinishda bo`ladi, bu yerda C – ihtiyoriy o`zgarmas son, esa funksiyaning biroz boshlang`ichi.
Berilgan chizig`li tenglama

almashtirish yordamida quyidagi ko`rinishga keltiriladi:

Birinchi qavsni nolga tenglab – hususiy yechim topiladi. Ikkinchi qavsdagi o`rniga ni qo`yib va uni nolga tenglab umumiy yechimini topamiz. Bulardan esa berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:



To`la differensialli differensial tenglamalar.



tenglama to`la differensialli tenglama deyiladi agar uning chap qismi biror funksiyaning to`la differensial bo`lsa, yani
,
bo`lsa.
Berilgan tenglamaning to`la differensialligini ko`rsatish uchun

shartni tekshirish zarur va yyetarlidir. Agar bu hart bajarilsa bu tenglmani ko`rinishida yozish mumkin va uning umumiy integrali ko`rinishda bo`ladi, bu yerda C - ihtiyoriy o`zgarmas son.

ni topish uchun, avvalo

ni x bo`yicha, y- fiksirlangan deb integrallaymiz va integrallash o`zgarmasini y ning funksiyasi sifatida olamiz, va quyidagini hosil qilamiz:

So`ngra

tenglikdan ni topib va uni yuqoridagi tenglikka qo`yib
ni hosil qilamiz.
Yuqori tartibli differensiyal tenglamalar.

a) ko’rinishdagi tenglama.

Bu tenglamani 2 – karra integrallash natijasida ko`rinishdagi yechimini topamiz. Bu yerda A va V lar ixtiyoriy o`zgamas sonlar.
b) ko`rinishdagi tenglama.
Bu tenglamada noma’lum y - funksiya ishtirok etmaydi. Uning tartibi almashtirish yordamida 1- birlikka tushiriladi. ni topib berilgan tenglamaga qo`yamiz va ni hosil qilamiz. So`ngra ni topib ga qo`yib dan yechimni hosil qilamiz.
v) ko’rinishdagi tenglama.
Bu tenglamada erkli o`zgaruvchi x – ishtirok etmaydi. Uning tartibi almashtirish yordamida tartibi 1 – birlikka tushiriladi. ni topib berilgan tenglamaga qo`yamiz va tenglamaga kelamiz. Uni yechib yechimini hosil qilamiz va almashtirishga qo`yib
ni hosil qilamiz. Undan esa yechimni hosil qilamiz.