Oliy algebra elementlar m atritsalar va ular ustida am allar t a’rif

Ta’rif. Bir xil m x n o‘lchamli
A = (atj) va B = (btJ)
matritsalar uchun ulaming yig‘indisi deb shunday m x n o‘lchamli C = (cf ) matritsaga aytiladiki, istalgan i = l,n va j = \,m lar uchun Cy element, cij=aij+bij tenglik orqali aniqlanadi va matritsalar yig‘indisi A+B shaklda belgilanadi, ya’ni
C=A+B.
A matritsaning B matritsaga ko‘paytmasini aniqlashda, A matritsaning ustunlar soni B matritsaning satrlar soniga teng bo‘lishi talab etiladi. Ya’ni A = (a0)mxn B = (b0)„xi boMishi kerak.
Ta’rif. A = (av)mx„ va B = (bj)nxk matritsalar ko‘paytmasi deb, o‘lchami m x k bo‘Igan shunday C = (ctJ)myk matritsaga aytiladiki, uning c ij elementi

tenglik orqali aniqlanib, matritsalar ko‘paytmasi A B ko‘rinishda ifodalanadi, ya’ni
C = A -B .
Yuqorida kiritilgan matritsalar ustidagi amallar uchun quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lib, bu xossalaming isboti, ularga mos xossalaming sonlar ustida o‘rinli ekanligidan kelib chiqadi. Bu isbotlami o‘quvchining o‘ziga havola qilamiz.
1. Matritsalami qo‘shish amali uchun kommutativlik - o‘rin almashtirish xossasi o‘rinli, ya’ni
A+B=B+A;
2. Matritsalami qo‘shish amali uchun assotsiativlik - guruhlash xossasi o‘rinli, ya’ni
(A + B ) + C = A + (B + Q ;
3. Matritsalami songa ko‘paytirishda qo‘shishga nisbatan distributivlik xossasi o‘rinli, ya’ni
A ( A + B) = A - A + A-B;
4. Matritsalami ko‘paytirish amalida qo‘shishga nisbatan t distributivlik xossasi o‘rinli, ya’ni
A-(b + c ) = A B + A C
yoki
(A+B)-C = A-C+B-C;
5. Matritsani songa ko‘paytirish va matritsalami matritsaga ko‘paytirish orasida quyidagi xossa o‘rinli, ya’ni
X (A-B)=(1A) ■ B = A ■ (IB);
6. Matritsalami ko‘paytirish amali uchun guruhlash xossasi o‘rinlidir, ya’ni
A ( B C ) = ( A B ) C .
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki,
A B ko‘paytma mavjud ekanligidan B A ning mavjud ekanligi kelib chiqmaydi, sababi A B ko‘paytmani aniqlashda A matritsaning ustunlar soni B matritsaning satrlar soniga teng boiishi kerak, bunda B matritsaning ustunlar soni A matritsaning satrlar soniga teng bo‘lmasligi ham mumkin, shuning uchun B ■ A ko‘paytmani har doim aniqlab bo‘lmas ekan.
Masalan:

matritsalar uchun A B ni aniqlash mumkin, lekin B A ni aniqlab
bo‘lmaydi.
Yana shuni ta’kidlash kerakki, A B va B A ko‘paytmalar mavjud
bo‘lgan taqdirda ham A B =B-A tenglik o‘rinli bo‘lmasligi mumkin.

matritsalar uchun A B ko‘paytma matritsaning o‘lchami 3x3 bo‘lsa,
B • A uchun esa2x2. Demak, tabiiy ravishda A-B± B A .
Endi
A n-tartibli kvadrat matritsa bo‘lsin. U holda
A - E — E - A = A va O -A = A - 0 = 0 munosabatlar o‘rinli ekanligini
ko‘rish qiyin emas.
Natural k son uchun quyidagi tenglik orqali

A matritsaning «£-darajasi»ni aniqlaymiz.
Shartli ravishda A 0
= E va a' = a deb qabul qilinadi.
Agar A matritsa elementlarining tartib raqamlarini o‘zgartirmagan
holda satrlarini ustun yoki ustunlarini satr qilib almashtirsak, hosil
bo‘lgan yangi matritsa A matritsaning transponirlangani deb nomlanib,


bo’lsa
A matritsani A' ga almashtirish matritsani transponirlash deb
nomlanadi. Transponirlash quyidagi xossalarga ega:

Ta’rifdan kelib chiqadiki, agar A matritsaning o‘lchami mx/i
bo‘lsa,uholdatransponirlangan matritsaning o‘lchami n*m bo‘ladi.
Masalan 1. Matritsalaming ko‘paytmasini aniqlang: