Oliy matematika asoslari

6- §. Юк,ори тартибли х,осила ва д и ф ф е р е н ц и а л л а р
y z = f ( x )  ф у н к ц и я (а, b ) и н т е р в а л д а б е р и л г а н и хт иё ри й х £ ( а , Ь )  
н у к т а д а f ' ( х)  х о с и л а г а эга булсин. Б у f ' ( х) х е м, у м ум а н а й т г а н д а,
л: узг арувчи нин г функц ия си булиб, унинг хосиласини к а р а ш мумкин.
y = z f [ x )  
ф у н к ц и я х о с и л а с и f ' (х ) н и н г у о с и л а с и  б е р и л г а н f ( x )  
ф у н к ц и я н и н г и к к и н ч и тартибли у о с и л а с и  д е й и л а ди ва
y = f ( x )  ф у нк ц и я ни н г учинчи, т урт и нч и ва х о к а з о т а р т и б д а г и
Хосила ла ри худди ю к о р и д а г и д е к к и р ит ил а д и .
Умума н, y = f ( x )  ф у н к ц и я ( п — 1 ) - т а р т и б л и х ос и л а с и / ( л - | ) ( х ) 
нинг х о с ил а с и б е р и л г а н f ( x ) ф у н к ц и я н и н г п-т арт ибли х о с и л а с и  
д е й и л а д и . Д е м а к ,
y = f ( x )  ф у нк ц и я н и н г f " ( x ) , f " ' ( x ) , f {IV)( x ) ,  
... 
х о с и л а л а р и
унинг
юк,ори тартибли х о с и л а л а р и  д ей и л а д и .
Ф у н к ц и я н и н г юк о р и т а р т и б л и х о с и л а л а р и д а н ф а нн и н г , т е хник а-
нинг т у р ли с о х а л а р и д а ф о й д а л а н и л а д и . М а с а л а н , х а р а к а т д а г и
ж и с м н и н г оний т е з л а н и ш и н и т о п и ш х а р а к а т конунини и ф о д а л о в ч и
функция нинг иккинчи тартибли хосиласини топиш билан хал этилади.
у" , ёки f " ( x ) ,  ёки Ц
к аб и б ел г и л а н а д и . Д е м а к ,
251
www.Orbita.Uz kutubxonasi

---

М и с о л . Уш б у у = х - е х ф у нк ц и я н и н г учинчи т а р т и б л и х осил ас ини 
топинг.
Б е р и л г а н ф у н к ц и я н и н г учинчи т а р т и б л и хосиласи к у й и д а г и ча
т о п и л а д и :
у ' = ( Х ' в х) ' = \ • ех - \- х е х =  (1 - j - x ) e x, 
у " = ( у ' ) ' = [( \ + х ) е х) ' =  1 - ех +  (1 + х ) - е х =  (2 + х ) е х 
у " ' = ( у " ) ' = [ ( 2 + х ) е х) ' =  1 •ех + (2 + х ) е х =  (3 + л : ) ^
Ф у н к ц и я н и н г юк о р и т а р т и б л и х о с и л а л а р и н и т опиш учун унинг 
х а м м а олдинг и т а р т и б л и х о с и л а л а р и н и х и с о б л а ш к е р а к б ула д и.
Б и р о к , а й р и м ф у н к ц и я л а р н и н г n - т ар т иб л и х о с и л а л а р и н и бир йула 
т оп и ш имконини б е р а д и г а н ф о р м у л а л а р м а в ж у д . Б и з к у й и д а б унда й 
ф о р м у л а л а р н и к е л т ир и б ч и к а р а м и з .
1°. у = х '1( х ’> 0) булсин. Р а в ш а н к и ,
у ' = lix'i ~ \
У " = ( У ' ) ' = ( \1 Х » - ') 'ч = 1 1 ( ц -  1 ) х ““ 2, 
у " ' = ( у " ) ' =  ( р ( р - 1 )jcm-2) ' = M-(M-— 1) (М- — 2 )лг11- 3
Б у м у н о с а б а т л а р д а н ихт иёрий n 6 ;V учун
б у л и ши н и к у р и ш кийин э м а с ( Б у ф о р м у л а н и н г т у г р и л и г и м а т е м а т ик
и н д у к ц и я усули ё р д а м и д а и с б о г л а н а д и ) .
Хусусан, jx = — 1 б у л г а н д а у = ~ були б, унинг п- т а рт и бл и хосн
л а с и у м =  
= ( - 1) ( - 2 )... ( - п ) х - ' ~ п= ' - " У  б ул а д и .
2°. у = а х ( а >  0, а ф  1) булсин. Бу ф у нк ц и я н и н г юк ори т а р ти б л и 
х о с и л а л а р и н и б ирин - кет ин х и с о б л а й м и з :
у ' = а х\па, 
у "  = [ах\ п а ) ' = а х\п 2х, 
у " ' =  ( а Ч п 2а ) = a *l n3a.
у (п) = а х\ п па
Кейинги т енг л ик н инг урин ли л иг и м а т е м а т и к и н д у к ц и я усули 
ё р д а м и д а курсатилади..
Хусусан, у = е х б у л с а , унинг п- т а р т и б л и хос и л а с и y in) = e x б у л а ­
ди.
3°. у  = sin х  булсин. Бу ф у н к ц и я н и н г юк о р и т а р т и б л и х о с и л а л а р и ­
ни б и р и н : кетин х и с об л а йм и з :
у ' =  cos x = sin 0 е 
у ' —  (cos х )  = — sin х  = sin ( х - \ - 2  J - J
252 
'

---

у " ' —  ( — sin х ) =  — cos j£ = sin^je + 3 - 4 ^
у /l = ( — cos x ) ' == sin x =  sin ( x  + 4 • -n- j .
f/("’ = sin(.x:-f-rt-n 
.
Кейинги т е н г л и к н и н г ур и н л и л и г и м а т е м а т и к и н д у к ц и я усули 
ё р д а м и д а к у р д а т ил а д и .
Энди икки ф у н к ц и я йигиндиси, а й и р м а с и х а м д а к у п а й т м а с и н и н г
юкори т а р т и б л и х о с и л а л а р и н и т о п и ш к о и д а л а р и н и к е лт и р а м и з .