Oliy matematika asoslari

5- §. Функциянинг д и ф ф ер ен ц и а л и
y = f ( x )  ф у н к ц и я (а, Ь) и н т е р в а л д а б е р и л г а н булсин. Б у (а, b ) д а
би р о р х 0 нукта олиб, унта Ах о р т т и р ма (х0 + А х 6 (а, Ь) )  б ер а ми з .
Н а т и ж а д а ф у н к ц и я A/ ( х 0) орт т и рма олади.
3- т а ъ р и ф. А г а р  Af ( x 0) н и к у й и д а г и ч а
А/(хо) = А  - А х - | - а ( Д х ) -Ах
и ф о д а л а ш м у м к и н б у л с а , / ( х ) ф у н к ц и я  х 0 нукт ада д и ф ф е р е н ц и а л л а - 
н у в ч и д е й и л а д и , б у н д а А — у з г а р м а с ,
П т а ( А х ) = 0 .
Дх^О
М а с а л а н , / ( х ) = х 2 ф у н к ц и я ихт иёрий х 0£ (  — 
оо, + о о )
н у к т а д а
д и ф ф е р е н ц и а л л а н у в ч и б ула д и. Х а к и к а т а н ха м, б е р и л г а н ф у н к ц и я ­
нинг х0 н у к т а д а г и орт т и рмас и А / ( х 0) = / ( х 0 + Ах) — f ( x 0) = ( х0 +
+ А х ) 2 — Хо = 2 х 0А х -(-Ах2 булиб, 2х0= Л , Ах = а ( А х ) д еб олинса, 
у нд а A f  (х0) = А  • Ах + а ( А х ) • Ах б у л и ши н и т оп а м и з .
6- т е о р е м a. y = f ( x ) ф ункция
х 0 нукт ада ( х 0£ ( а , Ь ) ) ди ф ф е­
р ен ц и а л л а н увч и б ули ш и у ч у н у н и н г ш у нуктада f ' ( x 0) у о с и л а га эга  
б ули ш и з а р у р в а етарли.
2 4 7 .
www.Orbita.Uz kutubxonasi

---

И с б о т . З а р у р л и г и . f ( x )  ф у н к ц и я х 0 н у к т а д а д и ф фе р е н ц и -
а л л а н у в ч и булсин. Т а ъ р и ф г а к ура
Af ( x o) = А • А х - \- а .( А х ) • А х .
Бу т е н г л и к н и н г х а р икки т омонини Дх га ( Д х = ^ 0 ) були б, сунг 
Дх —>-0 д а л и м ит г а у та ми з :
lim - ' — = lim [ ( А - \- а  (Дх) ] = lim А -(- lim а  (Дх) = А
Д * -0
Л *
д х - о 1 
А х^О  
Д х -0
Б у т е н г л и к д а н / ( х ) ф у н к ц и я н и н г х 0 н у к т а д а х о с и л а г а эг а ва f ' ( х 0) = А  
б у л и ши кел иб ч ик а д и.
Е т а р л и л и г и . / ( х ) ф у н к ц и я х 0 н у к т а д а / ' ( х 0) х о с и л а г а эга 
булсин. Унда ф у н к ц и я о р т т и р м ас и ф о р м у л а с и г а к у р а Д / ( х 0) =
= f ' ( x о ) Д х - | - а ( Д х ) - Дх б ула ди .
Б у эса / ( х )
ф у н к ц и я н и н г хо н у к т а д а д и ф ф е ре нц и а л л а н у ' в ч и 
б у л и ши н и б и л д и р а ди . Т е ор ем а ис бот булди.
К е л т и р и л г а н т е о р е м а д а н f ( x )  ф у н к ц и я н и н г х н у к т а д а д и ф ф е -
р е н ц и а л л а н у в ч и б у л и ши б ил а н уни нг шу н у к т а д а f ' (х) х о с и л а г а эга 
булиши т ушун ча ла ри эквивалент т у шу н ч а л а р эканлиги келиб чикади.
Ф а р а з к и л а й л и к , у = / ( х ) ф у н к ц и я (а, Ь) д а б е р и л г а н булиб,
х 0(Е(а, Ь) н у к т а д а д и ф ф е р е н ц и а л л а н у в ч и булсин. Унда Д f ( x 0) =
— f ' ( x 0) Д х + а ( Д х ) Д х б ул а ди .
Ф у н к ц и я ор т ти р м а с и Дх га н и с б а т а н ч из и к л и б у л г а н f ( х о)Дх 
х а м д а а ( Д х ) Дх х а д л а р й и ги н д и с ид а н и б о р ат були б, Д х ^ О д а а  (Дх) • 
•Дх х а д f ' ( x 0) Д х х а д г а К а р а г а н д а т е з р о к нолга ин т и л а д и . Ш у
с а б а б л и f ' ( x 0) A x  х а д / ' ( х 0) Д х - | - а ( Д х ) Д х нинг б о ш кисми б ул а ди .
4- 
т а ъ р и ф. Д х ) ф у н к ц и я орттирмаси Д / ( х 0) н и н г ч и з и к л и б ош  
К исми f ' ( х 0) Д х б е р и л г а н ф у н к ц и я н и н г  х 0 нукт а д а ги д и ф ф е р е н ц и а л а  
д е й и л а д и в а d y ё к и d f ( x 0) к а б и б е л г и л а н а д и :
d y = d f ( x o ) = f ' ( x o ) A x .  
(7)
Айт айлик , ю к о р и д а г и y = f ( x )  ф у н к ц и я г ра фи г и 81- ч и з м а д а т а с в и р ­
л а н г а н эгри ч и з и к н и и ф о д а л а с и н , бунда
М 0 = M
q
(
xo
, f  (хо) ) , М = М  (хо -\- Дх, / ( х п - ) - Д х ) ) .
Р а в ш а н к и , М пР = Ах, M P = A y — Af ( x o)  б ул а д и .
Эгри ч и з и к к а М о н у к т а д а у т к а з и л г а н у р и н м а н и н г Ох  у ки бил ан