Omonov sherozbek

38-rasm.
Chizmadan ko’rinib turibdiki, bundan esa

Bundan esa

kelib chiqadi.
Misol. 2. Har qanday to’rtburchak tomonlarini kvadratlari yig’indisi diogonallar kvadratlari yig’indisiga, diogonal o’rtalarini tutashtiruvchi kesma uzunligi kvadrati to’rtlanganligi qo’shilganiga teng.
A D
X
Y
C
B 39-rasm.
Yechish. 40-rasmga asosan ABC, CDA, BDX uchburchaklar uchun St’yuart teoremasini qo’llaymiz va natijada quyidagilarni yozishimiz mumkin:



Birinchi va ikkinchi tengliklarni uchinchi tenglikka olib kelib qo’yamiz.


Bundan esa quyidagilarga ega bo’lamiz:

Misol. 3. Parallelogrammda tomonlar kvadratlarini yi’gindisi diogonallar kvadratlari yig’indisiga tengdir.
Yechish. ABCD parallelogramm bo’lgani uchun uning diogonallari kesishgan nuqtada bo’ladi, bundan esa 2 – misol natijasiga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz:

Endi maqsadimiz uchburchak yuzasi uchun o’rinli bo’lgan Geron formulasini to’rtburchak uchun umumlashtirishdan iboratdir.
Kesmalar to’plamini E bilan kesmalar tutashtiruvchi nuqtalar to’plamini V bilan belgilab, ularni birgalikda “sistema” deb qabul qilsak, bu sistemada asosiy rolni kesmalar o’ynaydi va bu kesmalarni qattiq sterjenlar deb tushunamiz, hamda bu kesmalar bir tekislikda harakat qiladi deb faraz qilamiz. O’z – o’zidan tushunarliki uchburchaklar (E=V=3) qattiq figuralarga misol bo’ladi, to’rtburchaklar (E=V=4) esa bitta erkli o’zgaruvchiga ega bo’ladi, ya’ni to’rtburchakni bitta burchagini kattalashtirish, hamda kichiklashtirish mumkin. Bundan esa uning boshqa burchaklarini ham o’zgarishi kelib chiqadi. Berilgan sistemani qattiq sistema deb ataymiz, agarda u qattiq bo’lsa, hamda u qattiqligini yo’qotadi, agarda biror bir sterjenni olib tashlasak. Ser Goratskiy Lemb o’z davrida sistemani qat’iy qattiqligi uchun zaruriy shartni isbotlagan, bu shart quyidagidan iboratdir:
E=2V-3
Misol uchun E=5, V=4 teng bo’lsa, bu xolda biz bitta diogonalga ega bo’lgan to’rtburchakka ega bo’lamiz.
Har qanday to’rtta a, b, c, d kesmalar to’plami, har qaysisi qolgan uchtasini yig’indisidan katta bo’lmagan qavariq to’rtburchak tomonlari bo’lishi mumkin. Erkli daraja bizga to’rtburchakni qarama – qarshi burchaklarini biri ikkinchisini qo’shni burchagi bo’lgunga qadar siljitishimizga imkon beradi, bundan esa to’rtburchak uchlarini aylanada yotishi kelib chiqadi. Faraz qilaylik aylanaga ichki chizilgan to’rtburchakni diogonali uzunliklari 1 va n larga teng bo’lsin.

b a b l d d n
l n m c m b
c d c a a
39-rasm.

To’rtburchak a b c d ni l diogonali bo’yicha qirqib, d a l uchburchakni aylantirib, biz yangi berilgan aylana ichida yotuvchi b c a d to’rtburchakka ega bo’lamiz. Bu to’rtburchakni bitta diogonali yana l kesmadan iborat bo’ladi. Endi xosil bo’lgan to’rtburchakni ikkinchi m diogonali bo’yicha qirqib, hamda d b m uchburchakni aylantirib, biz yana berilgan aylana ichida yotuvchi yangi c a b d to’rtburchakka ega bo’lamiz.

Endi esa Ptolomey teoremasiga ko’ra quyidagilarni yozishimiz mumkin. mn=bc+ad, nl=ca+bd, lm=ab+cd
Bu to’rtburchaklar qavariq bo’lganligi uchun ularning yuzalari ikkita musbat yuzali uchburchaklar yi’g’indisiga teng bo’ladi. Ichki chizilgan uchburchaklarni almashtirish yordamida yuzalari o’zgarmaganligi uchun bu to’rtburchaklarni uchalasini ham yuzi bir – biriga teng bo’ladi. Yuqoridagi mulohazlarni umumlashtirib, quyidagi teoremani keltirishimiz mumkin.