Omonov sherozbek

33-rasm.


1.4 - § P.Varin’on teoremasi.
Geometriya kursida to’rtburchakning ba’zi bir xossalari. Ushbu paragrafda biz to’rtburchakni ba’zi bir xossalari bilan tanishamiz. Bu xossalarni o’rganish bizga to’rtburchak haqidagi ma’lumotlarimizni yanada kengaytirishimizga yordam beradi. Quyida biz to’rtburchaklarga oid bir nechta teoremalarni keltiramiz. Shunday teoremalardan biri Varin’on teoremasi. Xozir esa bizga ma’lum bo’lgan ko’pburchak tushunchasiga to’xtalib o’taylik.
Ko’pburchak berilgan (aniqlangan) deb aytamiz, agarda bir nechta nuqtalar berilgan bo’lib (ko’pburchakni uchlari deb ataluvchi) va bu nuqtalar soniga teng kesmalar berilgan bo’lsa, (uning tomonlari deb ataluvchi) ya’ni tekislikda siklik tartiblangan nuqtalar to’plami berilgan bo’lsa, har qaysi ketma-ket kelgan uchta nuqtalarni tutashtiruvchi kesimlar ketma-ketligi ham kolleniar bo’lmasa. Boshqacha qilib, sodda til bilan aytganimizda ko’pburchak deb, tekislikda yotuvchi yopiq siniq chiziqqa aytiladi. Agar ko’pburchak n ta uchga va n ta tomonga ega bo’lsa, bunday ko’pburchakka n-burchakli ko’pburchak deb ataymiz. Ba’zi adabiyotlarda kop’burchaklar grekcha nomlar bilan ham yuritiladi: pentagon (n=5), geksagon (n=6) va hokazo. Biz albatta to’rtburchak tushunchasini “to’rttomonlik” degan nom bilan atamaymiz, yuqoridagidek qisqacha to’rtburchak deb ataymiz.
To’rtburchakni ikki tomoni qo’shni tomonlar deb aytiladi, agarda ular umumiy uchga ega bo’lsa, aks xolda ular qarama – qarshi tomonlari deb ataladi. Xuddi shunday uchburchakni ikki uchi qo’shni uchlar deyiladi, agarda ular bir tomonga tegishli bo’lsa, aks xolda qarama – qarshi uchlar deb ataladi. Ikki qarama – qarshi uchlarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziqqa uning diogonali deb ataymiz. Shunday qilib, ABCD to’rtburchak AB, BC, CD, DA tomonlarga va AC, BD – diogonallarga ega bo’lar ekan.
Biz quyida uch xil tipdagi to’rtburchakni keltiramiz.
D D
1
A C 2
B
A
B C

D 3 B
A C

34 – rasm.

Yuqoridagi rasmdan ko’rinadiki, birinchi to’rtburchagimiz qavariq to’rtburchak bo’lib, uning ikkala diogonali ham o’zining ichida joylashgan bo’ladi. Ikkinchi tip to’rtburchagimizda esa bir diogonali o’zining ichida, ikkinchisi o’zidan tashqarida joylashgan. Uchinchi tip, ya’ni kesishuvchi to’rtburchagimizda esa ikkala diogonali ham o’zidan tashqarida ekanligini ko’rishimiz mumkin.

Biz qavariq to’rtburchakni yuzini to’rtburchak diogonali bo’lgan ikkita uchburchaklarni yuzlarini yig’indisi shaklida ifodalaymiz:

S_ABCD = S_ABC + S_CDA = S_BCD + S_DAB

Yuqorida keltirilgan formulamiz keyingi tip to’rtburchaklar uchun o’rinli bo’lishi uchun uchburchak yuzini musbat va manfiy aniqlangan degan tushunchani kiritishimiz kerak. Uchburchak yuzini musbat va manfiy aniqlangan deb ataymiz, agarda yuzani hisoblash nuqtalarga nisbatan qarama – qarshi yo’nalish soat strelkasi bo’yicha mos ravishda hisoblansa.

U xolda quyidagilarni yozishimiz mumkin bo’ladi:
S_ABC = S_BCA = S_CAB = - S_CBA

Yuqoridagi keltirilgan tushunchalardan so’ng ikkinchi tip to’rtburchagimizni yuzi quyidagiga teng bo’ladi:

S_ABCD = S_BCD + S_DAB = S_CDA - S_CBA = S_CDA + S_ABC

Uchinchi tip to’rtburchagimiz uchun quyidagi tenglikni yuqorida keltirilgan tushunchamiz bo’yicha yozishimiz mumkin:

S_ABCD = S_ABC - S_ADC
Endi P’eru Varin’on (1654-1722) teoremasini keltiramiz. Bu teoremaning isboti ma’lum sabablarga ko’ra 1731 yili e’lon qilingan.