On aǵzalí qatarlardíŃ JÍynaǵÍ

2. Sanlı qatarlardıń birpara ózgeshelikleri

Qatardıń birinshi chekli ta hadini tastap jibersak, nátiyjede

Qatar payda boladı.
1-teorema. Eger (1) qatar jaqınlashuvchi (uzoqlashuvchi) bolsa, onıń qálegen chekli sandaǵı hadlarini tastap jiberiwden payda bolǵan (4) qatar da jaqınlashuvchi (uzoqlashuvchi) boladı hám kerisinshe (4) qatar jaqınlashuvchi (uzoqlashuvchi) bolsa, ol halda (1) qatar da jaqınlashuvchi (uzoqlashuvchi) boladı.
Tastıyıq. (1) qatardıń menshikli jıyındısı
=
(4) qаtоrning хususiy yigʻindisi

boʻlgаni uchun = dаn koʻrinаdiki:
a) Eger ámeldegi bolsa, da ámeldegi boladı, bul bolsa (1) qatar jaqınlashuvchi bolsa, (4) qatardıń da jaqınlashuvchi ekenin kórsetedi -chekli san ga baylanıslı emes).
b) Eger ámeldegi bolmasa yamasa sheksiz bolsa da joq yamasa sheksiz boladı. Bul bolsa (1) qatar uzoqlashuvchi bolsa, (4) qatar da uzoqlashuvchi ekenin kórsetedi.
Teoremaning ekinshi bólegi de tap sonıń menen birge tastıyıqlanadı.
1-teorema. Qatar hadlariga chekli sandaǵı hadlar qosqanda da orınlı boladı.
2-Teorema. Eger

Qatar jaqınlashuvchi bolıp, jıyındısı bolsa, ol halda

Qatar da jaqınlashuvchi bolıp jıyındısı boladı ( -qálegen ózgermeytuǵın ).
Tastıyıqı. (1) Qatar jaqınlashuvchi bolǵanı ushın

Boladı. (5) Qatardıń menshikli n- jıyındısı

bolıp, limiti bolsa
bunnan (5) qatardıń jaqınlashuvchi ekenligi kelip shıǵadı.
3-tеоrеmа. Аgаr vа
Qatarlar jaqınlashuvchi bolıp, jıyındıları uyqas túrde bolsa

Qatar da jaqınlashuvchi boladı jáne onıń jıyındısı boladı.
Tastıyıq. Shártga kóre
_hám
tеngliklаr oʻrinli boʻlаdi.
(6) Qаtоrning хususiy yigʻindisini dеsаk
=
_bolıp,
Bul bolsa bunnan (6 ) qatardıń jaqınlashuvchi ekenligin kórsetedi.
Tariyp. Eger
Qatardıń hámme hadlari teris bolmaǵan sanlardan ibarat bolsa, bunday qatarǵa oń hadli qatar dep ataladı.
( bolǵanı ushın qatardıń barlıq menshikli jıyındıları monoton o'suvchi bolıp boʻlаdi.
Biz bilgenimizdey monoton o'suvchi izbe-izlikler joqarıdan shegaralanǵan bolsa onıń limiti ámeldegi bolıp izbe-izlik jaqınlashuvchi boladı. Sonday eken, bul halda qatar jaqınlashuvchi boladı.
Eger monoton o'suvchi menshikli jıyındılar joqarıdan shegaralanbaǵan bolsa, ol chekli limitga iye bolmaydı. Sonday eken, bul halda qatar uzoqlashuvchi boladı.
Tómendegi teoremani tastıyıqsız keltiremiz
Teorema. Oń hadli qatarlardıń jaqınlashuvchi bolıwı ushın olardıń barlıq menshikli jıyındıları joqarıdan shegaralanǵan bolıwı zárúr hám jetkilikli.