Определители. Совокупность n2 чисел, расположенных в виде таблицы, называетсяопределителем

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А^-1А = АА^-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Определение 3. Матрица  называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения  транспонированной матрицы .

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. 
   Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.
   
2. 
   Находим присоединенную матрицу А^*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А. 
   
3. 
   Вычислим обратную матрицу по формуле
   

, где  .

4. 
   Проверяем правильность вычисления А^-1А = АА^-1 = Е. (Е – единичная матрица)
   

Матрицы А и А^-1 взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу  .

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система трех линейных уравнений:
(1)
Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид  .
Далее составляются определители по переменным  , , . Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть
,  , .
Тогда решение системы находится по формулам Крамера
,  , 
Следует отметить, что система имеет единственное решение  , если главный определитель .Если же  и  = 0, = 0, = 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же   и  0, или 0,или 0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.