Определение 2. Матрица А-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А-1А = АА-1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Определение 3. Матрица называетсяприсоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы .
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы. -
Находим определитель исходной матрицы. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует. Если определитель отличен от нуля, то матрица А невырожденная и обратная матрица существует.
-
Находим присоединенную матрицу А*, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы А.
-
Вычислим обратную матрицу по формуле
, где .
-
Проверяем правильность вычисления А-1А = АА-1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А-1 взаимообратные. Если |A| = 0, то обратная матрица не существует.
Пример 1. Дана матрица А. Убедиться, что она невырожденная, и найти обратную матрицу .
Метод Крамера для решения систем линейных уравнений.
Пусть дана система трех линейных уравнений:
(1)
Для решения системы линейных уравнений методом Крамера из коэффициентов при неизвестных составляется главный определитель системы . Для системы (1) главный определитель имеет вид .
Далее составляются определители по переменным , , . Для этого в главном определителе вместо столбца коэффициентов при соответствующей переменной записывается столбец свободных членов, то есть
, , .
Тогда решение системы находится по формулам Крамера
, ,
Следует отметить, что система имеет единственное решение , если главный определитель .Если же и = 0, = 0, = 0, то система имеет бесчисленное множество решений, найти которые по формулам Крамера нельзя. Если же и 0, или 0,или 0, то система уравнений несовместна, то есть решений не имеет.
Do'stlaringiz bilan baham: |