Определители. Совокупность n2 чисел, расположенных в виде таблицы, называетсяопределителем

Пример
Решить систему уравнений методом Крамера: 
Решение:
1) Составим и вычислим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных.
.
Следовательно, система имеет единственное решение.
2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов.






По формулам Крамера находим неизвестные:
,  , .
Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения
, т.е.  .
, т.е. 
, т.е. 
Ответ:  .
Пример
Решить систему уравнений методом Крамера:

Решение:
1) Составим и вычислим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:
.
Следовательно, система не имеет единственного решения.
2) Составим и вычислим вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец в  столбцом из свободных членов:

.
,  , следовательно, система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Метод Гаусса
Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы при помощи действий, не нарушающих равносильности системы. Например, рассмотрим два первых уравнения системы (1).
(1)
Необходимо путем сложения этих двух уравнений получить уравнение, в котором отсутствует переменная  . Умножим первое уравнение на , а второе на ( ) и сложим полученные уравнения

+
Заменим коэффициент перед y, z и свободный член на  , и соответственно, получим новую пару уравнений

Заметим, что во втором уравнении отсутствует переменная x.
Проведя аналогичные действия над первым и третьим уравнениями системы (1), а затем над полученными в результате сложения вторым и третьим уравнениями, преобразуем систему (1) к виду
(2)
Такой результат возможен, если система имеет единственное решение. В этом случае решение находится при помощи обратного хода метода Гаусса (второй этап). Из последнего уравнения системы (2) находим неизвестную переменную z, затем из второго уравнения находим y, а x соответственно из первого, подставляя в них уже найденные неизвестные.
Иногда в результате сложения двух уравнений суммарное уравнение может принять один из видов:
А)  , где . Это означает, что решаемая система несовместна.
Б)  , то есть . Такое уравнение исключается из системы, в результате число уравнений в системе становится меньше, чем число переменных, и система имеет бесчисленное множество решений, нахождение которых будет показано на примере.