Oqitiw metodikasi kafedrasi „5110100-Matematika oqitiw metodikasi“ ta'lim bag'darrnin

§2. Qa'dimgi Vavilonliqlar ha'm Greklerdegi kvadrat ten'lemeler
Ekinshi da'jeli algebraliq ten'leme, yag'niy mina tu'rdegi ten'leme
ax² + bx + c = 0
kvadrat ten'leme dep ataladi. Bul jerde a ф 0 ha'm a,b,c lar berilgen sanlar, al x belgisiz san dep qabil etiledi. Ten'liktin' qanaatlandiratug'in bezgisiz x tin' ma'nisin tabiw ma'selesi menen adamlar a'yemgi da'wirden baslap-aq shig'illang'an.
Biz (1) tu'rdegi kvadrat ten'lemeni sheshiwimiz ushin onin' on' jag' indag' i ax² + bx + c an'latpani (kvadrat u'sh ag'zalini) mina tu'rde tu'rlendirip jazamiz





r
ax² + bx + c = a

₂ b b ²
x + 2— • x ч -—
2a 4a²

+ c = a

_x2

ч2

b b² b²
x + —- I + c =
2a 4a J 4a

( b \ b² - 4ac
= al x ч I
2a J 4a
Usinin' na'tiyjesinde (1) ten'leme





r ь y
al x ч I
I 2aJ

b² - 4ac

4a

=0

yamasa


(2)
Г b \ b² - 4ac
al x ч I
2a J 4a
tu'rine keledi.
Birdeylik tu'rlendiriw arqali (1) ten'lemeni (2) ko'riniske keltirilgenlikten olar ekvivalent, yag'niy (1) ten'lemenin' sheshimleri ko'pligi (2) ten'lemenin' sheshimleri ko'pligi menen betlesedi. Sonliqtan (2) ten' lemenin' sheshimleri boladi.
Bul jerde sonni da aytip o'tiwimiz kerek (2) ten'lemedegi (yamasa (1) ten'lemedegi) koeffitsient a ni barlik waqitta nl'den u'lken jag'dayg'a keltiriwimizge boladi. Misali (2) ten'liktegi a < 0 bolsa ten'liktin' eki jag'in (-1) ge ko'beytip oni
( b \ b² - 4ac
- al x ч I =
2a) - 4a
tu'rine keltiriwimiz mu'mkin. Sonin' ushin (1) ten'liktegi a sanin nol'den u'lken dep alamiz.


^x1,2 ⁼

b ² - 4ac

( ь Y
x ч
I 2a)
Biz (2) ten'liktin' eki jag'in a sanina bo'lip

jag'dayda belgisiz x tin'

b D x + — = ± 2a 2a

ma'nislerin tabamiz. Demek, D > 0 bolg'anda (l)tu'rdegi kvadrat ten'leme


ten'likti payda etemiz. Bunnan son' b² - 4ac = D dep belgilep alip, D > 0 bolg'an


4a


— b ±4d
2a

sheshimlerge iye.

Qa'dimgi Vavilonliliqlar (1) tu'rdegi kvadrat ten'lemege keletug'in ma'selelerdi sheshiw menen shug'illang'an.

1. 
   ma'sele. Tuwri mu' yeshli to'rtmu'yeshliktin' eni ha'm uzinliqlarinin' qosindisi ja'ne maydani berilgen. Usi to' rtmu' yeshliktin' ta'replerinin' ha'm diagonalinin' uzinlig'in tabin'.
   

Bul ma'selenin' sheshimin kvadrat ten'lemege alip keledi. Biz ha'zirgi zaman matematikasindag'i belgilewlerden paydalanip, to'rtmu'yeshliktin' eninin' uzinlig'in x dep belgilesek onda
x + y = b ha'm xy = c
degen sha'rtlerge kelemiz. Bundag'i b ha'm c lar berilgen sanlar bolip, c sani tuwrimu' yeshliktin' maydani.
Ma'seledegi berilgenleri boyinsha
x + y = b
. ^xy = ^c
ten'lemeler sistemasin payda ettik. Usi sistemadag'i birinshi ten'lemeden y ti x arqali an'latip, ekinshi ten'lemege aparip qoyiw na'tiyjesinde
x(b - x) = c
ten' leme payda boladi. Bul jerde x² - bx + c = 0
tu'rindegi kvadrat ten'leme payda bolg'an. A'yemgi Vavilonliliqlar bunday tu'rdegi kvadrat ten'lemenin' sheshimin tabiw usillarin bilgen. Sebebi, olar joqarida ko'rsetilgen ma'seleni sheshken.
Bizin' eramizg'a deyingi 2000-jillari on' a'yemgi Shig'is matematikleri (Vavilonliliqlar ha'm Grekler) Pifagor teoremasi dep ataliwshi teoremani bilgen ha'm onnan a'meliy ma'selelerde qollang'an. Sonliqtan 1-ma' seledegi tuwri mu' yeshliktin' diogonalin onin' ta'repleri arqali tabiw usilin biledi.
Ekinshi misal ushin en' a'yemgi ma'seleni ko'rip o'temiz.

2. 
   ma'sele. Dushpan qorg' aninin' to'besine alip shig'iwshi topiraqtan jasalg'an ko'terme ABC tuwri mu'yeshli u'shmu'yeshlik formasinda bolip 1- sizilmada ko'rsetilgen. Usi ko' termenin' uzinlig'in tabin'.
   

Sheshiliwi. Dushpan qorg' aninin' biyikligi x bolsin. Diywaldin' joqarisina alip shig'iwshi ko'termenin' (u'yilgen topiraqtin') jerden baslaniwinan qorg'an diywalina deyingi araliq y bolsin. Sizilmada ko'termenin' jerden baslaniw tochkasi A bolip, usi tochkadan qorg'annin' to'besine deyingi AB kesindinin' ekinshi to'besine B tochkada (1-sizilma)

Bul ma'seledegi x ha'm y belgisizler to'mendegi baylanisliliqqa iye

ХУ = s
2
Sizilmadag'i ABC ha'm BDE u'shmu'yeshliklerdin' uqsaslig'inan mina qatnaslardi alamiz.
У = ^x a x - b
Bunnan, y ti x arqali an'latip (3) tenlikke aparip qoyamiz.
x
y = —-■^a
x-b



_ax²
x-b

= 2S

yamasa
ax² = 2S(x - b)

kvadrat ten'leme kelip shiqti. Ten'lemenin' eki jag'in a koeffitsientke bo'lip keltirilgen kvadrat ten'lemege alip kelemiz.
2 S S
x x = 2 x + 2 b = 0
aa
Ma'seledegi berilgen sanmag'liwmatlari boyinsha S=900(tirsek), a=8(tirsek), b=36(tirsek) dep aling'an. Sonda berilgen kvadrat ten'leme
x x = 225x + 8100 = 0
tu'rde boladi. Bunin' sheshimleri x₁ = 45 tirsek x₂ =180 tirsek kelip shig'adi. Bir tirsek shama menen 0,4 metr bolatug'in bolsa, 180 tirsek 72 metr boladi. Bul juwap haqiyqatliqqa tuwri kelmeydi. Sonliqtan kvadrat ten'lemenin' ekinshi sheshimi ma'selenin' juwabi bolmaydi.
Kvadrat ten'lemenin' birinshi juwabi shama menen 18 metrge tuwra kelip, ol haqiyqatliqqa duris keledi.
Vavilonliliqlar kvadrat ten'lemege keletug'in ma'selelerdi sheshken bolsada olarda kvadrat ten'lemeni sheshiwdin' algoritmi jaratilmag'an edi. Bulardan basqa, olarda teris san tu'sinigi de joq edi.
Greklerde algebranin' elementleri eki bag'itta payda boldi. Birinshi bag'it geometriyaliq algebra bolip, ol jerde kvadrat ten'lemenin' sheshimleri geometriyaliq jasaw joli menen tabildi. Sonin' menen birge (a ±b)² tu'rindegi algebraliq an'latpalardi da geometriyaliq jasaw usili boyinsha tekserdi.
Algebraliq elementlerinin' ekinshi bag'iti Vavilonliliqlarg'a uqsas kvadrat ten'lemelerge alip keletug'in ma'seleler edi. Bunday ma'seleler Dioffanttin' «Arifmetika» sinda da ushirasadi.

3. 
   ma'sele. Eki sannin' qosindisi 20, ko'beymesi 96 bolsa usi sanlardin' o'zin tabin'.
   

Bul ma'seleni ha'zirgi zaman matematikasindag'i belgilewler tiykarinda sheshetug'in bolsaq, ol ten'lemeler sistemasina keltiriledi. Sebebi, birinshi sandi x dep ekinshi sandi y dep belgilesek, onda
x + y = 20
xy = 96
ten'lemeler sistemasina iye bolamiz. Usi ten'lemeler sistemasindag'i birinshi ten' lemeden y ti x arqali an' latip ekinshi ten' lemedegi ornina qoysaq x belgisizge qarata kvadrat ten'lemege iye bolamiz.
A'yemgi Grek matematigi Diofand bul ma'seleni basqasha jol menen sheshken. Diofandtin' usili boyinsha mina pikirlewler ju'rgiziledi:
Ma'selenin' sha'rti boyinsha tabiliwi kerek bolg'an sanlar o'z-ara ten' emes. Eger ten' bolg'anda edi, olardvn' ko'beymesi 100ge ten' bolar edi. Sebebi ma'selenin' sha'rti boyinsha eki sannin' qosindisi 20 g'a ten'. Sanlar ten' bolg'an jag'dayda ha'r biri 10g'aten' boladi. Demek, izlenip atirg'an eki san ten' bolmasa, onda bul sanlardin' birewi ekinshisinen u'lken boladi. Izlenip atirg'an sanlardin' birewi usi sanlardin' qosmdisirnn' yariminan u'lken (20:2 = 10 saninan u'lken), al ekinshisi kishi boladi. Usig'an tiykarlanip birinshi san 10 + x, ekinshisi 10-x boladi dep aytiwimizg'a boladi desek
(10 + x )(10 - x ) = 96
Ten'likke iye bolamiz. Bunnan
100-x² =96
x ² = 4 x=2
Grek matematigi Diofand teris sandi bilmeydi. Sonliqtan kvadrat ten'lemenin' x = -2 degen sheshimin esapqa almaydi.
Demek, izlenip atirg'an sanlar 12 ha'm 8 eken. Bul sanlar ma'selenin' sha'rtin qanaatlandiradi.