Orbita elementlari

Keplerning 2-qonuni. Sayyoralar elliptik orbitalar bo’ylab harakati davomida ular teng vaqtlar ichida teng yuzalar chizadi.
Quyosh va sayyora o’rtasidagi masofa o’zgaruvchanligi sababli sayyoraning tezligi ham o’zgaruvchan bo’ladi. Keplerning II qonuniga binoan, sayyora tezligi Quyoshga yaqinlashgani sari oshib undan uzoqlashgani sayin kamayadi.
Keplerning 3-qonuni. Sayyoralarning katta yarim o’qlari kublari nisbati, ularning orbita bo’ylab aylanishlarining siderik davrlari kvadratlari nisbatiga teng.
Agar bitta sayyoraning siderik aylanish davri T₁ va o`rtacha geliotsentrik masofasi a<sub>1</sub>, ikkinchi sayyora uchun mos ravishda T<sub>2</sub> va a<sub>2</sub> larga teng bo`lsa, unda  , bundan  . C butun Quyosh sistemasi uchun o`zgarmas kattalik bo`lib, Keplerning uchinchi qonuni konstantasi deb ataladi va uning qiymati qabul qilingan o`lchov birliklariga bog`liq. Agarda T ni Yerning aylanish davrlarida (yulduz yili) va a ni astronomik birliklarda (a.b.) olsak, unda Yer uchun T=1, a=1, bundan C=1, unda istalgan sayyora uchun T²=a³, bundan kuzatuvlardan olingan Quyosh atrofidagi osmon jismlari aylanish davrlaridan (yulduz yillarida) ularning o`rtacha geliotsentrik masofalarini (astronomik birliklarida) hisoblab chiqish mumkin bo`ladi.
Yuqorida keltirilgan qonunlar faqat sayyoralarning harakatiga tegishli bo‘lmay, balki ularning tabiiy va sun’iy yo‘ldoshlarga ham qo‘llasa bo‘ladigan qonunlardir. Ushbu qonunlarining kashf etilishi Nyuton tomonidan sayyoralarning harakatlarini boshqaruvchi kuchni aniqlanishiga sabab bo‘ldi. Keyinchalik Nyuton tomonidan 1687 yilda butun olam tortishishi qonuni kashf etilgan. Bu qonuning matematik ifodasi quyidagicha
 (3.4)
bu erda m₁- va m₂- ixtiyoriy ikki jismning massasini, r- ular orasidagi masofani ifodalaydi, G - gravitatsion doimiy ( ). Keyinroq Nyuton, matematik yo‘l bilan Keplerning barcha qonunlarini keltirib chiqargan.
Bir jism ikkinchi jism atrofida aylanishi uchun tortishish kuchi ta’sirida ro‘y beradi, bunda jismning aylana, ellips, parabola yoki giperbola ko‘rinishidagi traektoriyalar bo‘yicha harakat qilishi ham Nyuton tomonidan aniqlangan hamda u Kepler birinchi qonunining umumlashgan ko‘rinishi deb nom olgan.
Keplerning II-qonuni adabiyotda yuzalar integrali deb ham ataladi. Sayyoraning radius-vektori vaqt oralig`iga to`g`ri proporsional bo`lgan yuzalar chizadi. Agarda  vaqt oralig`ida sayyora P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>,  oraliqda esa P<sub>3</sub>P<sub>4</sub> yo`lni bosib o`tgan bo`lsin, xuddi shu vaqt oraliqlarida sayyoraning radius-vektori  (P₁CP₂ sektorining yuzasi) va  (P₃CP₄ sektorining yuzasi) yuzalarini chizadi, bunda  . Sayyoraning radius-vektori vaqt birligida chizadigan yuzasi uni sektorial tezligi deyiladi. Yuqoridagi tenglikda sektorial tezlik  ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, Keplerning ikkinchi qonunini boshqacharoq, ya`ni sayyoraning sektorial tezligi o`zgarmas kattalikdir deb ham talqin etiladi. Keplerning ikkinchi qonuni harakat miqdori momenti (impuls momenti) saqlanish umumiy qonunining xususiy holidir. Ikki jism masalasining tenglamalari  va  mos ravishda y va x ga ko`paytirilib, natijalarini ayiraylik. Unda kuch markaziy ekanligi, ya`ni  sababli  kelib chiqadi. Agar qutb koordinatalar sistemasiga o`tsak,  . Shuning uchun eng katta  <sub>q</sub> tezlikga sayyora perigeliyda, eng kichik  <sub>q</sub> tezlikga esa afeliyda ega bo`ladi.
Orbitaning geotsentrik shartini bilish uchun orbita tenglamasini bilishimiz kerak. Vektor e konstanta bo'lib orbita tekisligida yotganligi sababli biz uni ma'lum yo'nalish sifatida tanlaylik. Vektorlar r va e orasidagi burchak  bo'lsin. Unda bu burchak “haqiqiy anomaliya” deyiladi (yana boshqa anomaliyalar ham mavjud. Ular peregeliy nuqtasidan boshlab o'lchanadilar). Skalyar ko'paytma xossasiga ko'ra

3.4 c-rasm. Biron bir obyektning boshqa obyektning gravitatsion maydonidagi orbitasi konik kesmalardan biri bo'lishi mumkin: ellips, parabola yoki giperbola. Vektor e peritsentrga yo'naltirilgan, u yerda orbitadagi obyekt markaziy jismga eng yaqin joylashgan bo'ladi. Agarda markaziy jism Quyosh bo'lsa bu yo'nalish perigeliy deyiladi; agarda biron bir boshqa yulduz bo'lsa, unda periastr deyiladi; agarda Yer bo'lsa, unda perigey bo'ladi va hokazo. Haqiqiy anomaliy  peritsentrdan o'lchanadi.

Oxirgi 2 natijani o’zaro tenglab, orbita tenglamasini topamiz:

Bu konik kesimning qutb koordinatalaridagi umumiy tenglamasi hisoblanadi. Kattalik e ekstsentrisitet deyilib, e=0 aylana, 01 giperbolaga to'g'ri keladi. Agar  bo'lsa, unda r o'zining eng minimal qiymatiga erishib, u vektor e bilan ustma-ust tushadi. Demak, e perigeliy nuqtasi tomonni ko'rsatadi.