Orqali belgilaylik, S

MISOLLAR. 1. S₃ ning barcha elementlarini toping.

Demak, S₃ ning elementlari 3!=6 ta ekan.
2. - 3-darajali o‘rniga qo‘yishlarning j₁·j₂ va j₂·j₁ ko‘paytmalarni toping.

Demak, j₁·j₂j₂·j₁, bundan umumiy xolda o‘rniga qo‘yishlarni ko‘paytirish kommutativlik xossasiga ega emas degan xulosaga kelamiz. 
3.S₃ dagi hamma juft va toq o‘rniga qo‘yishlarning sonlarini toping.
 j₁ da tartibsizlik yo‘q. j₂ da {3,2} – bitta tartibsizlik bor . shu kabi j₃ da ham {2,1} - , bitta j₄ da {2,1},{3,1} - ikkita, j₅ da {3,1},{3,2},{2,1} – uchta tartibsizlik bor. j₁,j₄,j₅ lar juft, j₂, j₃,j₆, - lar toq o‘rniga qo‘yishlar ekan. 
kvadrat matritsa
M={1,2,…,n} to‘plamda aniqlangan hamma n- darajali o‘rniga qo‘yishlarning to‘plami S_n berilgan bo‘lsin.
A matritsaning har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan , n ta elementlarning ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan ko‘rinishdagi hamma ko‘paytmaldarning to‘plamini M(A) orqali belgilaymiz. Uning elementlari n! ta bo‘ladi.
ko‘paytma jÎS_n n- darajali o‘rniga qo‘yishni mos qo‘yamiz. Bu joyda (k)=i_k, k=1,2,…,n. Aksincha (S_n) ga
M(A) ning elementini mos keladi
. SHunday qilib, S_nM(A) – biektiv akslantirishga ega bo‘lamiz.
A matritsaning elementlaridan tuzilgan n –tartibli determinant (yoki A matritsaning determinanti) deb n! xadlarning

yig‘indiga aytiladi va Ayoki detA yoki
ko‘rinishda belgilanadi.


Determinant quyidagi xossalarga ega:
1⁰. detA=det^tA, ^tA-F matritsaning transponirlangani.
2⁰. Agar determinantninng ikkita satrlari (ustunlari) ning o‘rinlari o‘zaro almashtirilsa, determinantninng ishorasi o‘zgaradi.
3⁰. Ikkita satri (yoki ustuni) bir hil bo‘lgan determinantning qiymati nolga teng.
4⁰. Determinantning bitta satri (ustuni) ning hamma elementlari F 0 songa ko‘paytirilsa, determinantning qiymati  ga ko‘payadi.
NATIJA. Determinantning ikkita satrlari (ustunlari) proportsional bo‘lsa, determinantning qiymati nolga teng bo‘ladi.
5⁰.
tenglik o‘rniga ega. Bu hossa qo‘shiluvchilar soni n ta bo‘lganda ham o‘rniga ega.
6⁰. Determinantning birorta satri (ustuni)ning hamma elementlarini  songa ko‘paytirilganini boshqa satri (ustuni)ning mos elementlariga qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydii.
7⁰. Nol’ –satrga (nol’ ustun) ega bo‘lgan determinant nolga tengdir.