O’rta maxsus ta’lim vazirligi

Affin geometriya – matematikaning bir sohasi. Unda l o’lchovli fazoda chekli sondagi vektorlar, shuningdek algebraik chiziq va sirtlarning affin almashtirishlar (masalan, to’g’ri chiziqlar to’g’ri chiziqlarga, nuqtalar nuqtalarga o’tadigan almashtirishlar) da saqlanadigan (invariant) xossalari o’rganiladi. Affin almashtirishlarning muhim xossalaridan biri — tekisliqsa berilgan uchburchakni berilgan ikkinchi uch burchakka o’tkazuvchi yagona affin almashtirish mavjud; shunga o’xshash tasdiq l o’lchovli fazo uchun ham o’rinli. Vektorlar, chiziq va sirtlarning affin almashtirishda saqlanadigan xossalari affin invariantlar deyiladi.
Masalan, uchburchakning to’g’ri burchakliligi affin almashtirishda saqlanmaydi, binobarin, bu xossa affin invariant emas, shuningdek kesma uchburchakning bissektrisasi bo’lishi ham affin invariant emas, ammo uchburchak medianalarining kesishish nuqtasida 1:2 nisbatda bo’linishi invariantdir. Affin almashtirish natijasida ellips yana ellipega, giperbola yana giperbolaga, parabola yana parabolaga almashinadi. Shuning uchun hamma ellipslar (shuningdek, giperbola va parabola ham) bitta affin sinfni tashkil qiladi.
1.3 Tekislikda affin va qutb koordinatalar sistemasi.

Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi.

1-ta ’rif. Ortonormal bazis yordamida berilgan koordinatalar sistemasi 
to ‘g ‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.
Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektoming berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.
Isbot. Bizga ortonormal bazis berilgan bo‘lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik.
bo‘lsa, vektoming boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o'qlariga ortogonal proeksiyalarini А, В, С harflari bilan belgilasak
A = x , B= y , C= z tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan , kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun munosabatlarni hosil qilamiz.
x = pr_Ox ,
y = pr_Oy , 
z = pr_Oz
Ataladi. Bu tenglamada A, B, C, D, E, F koeffisentlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lishi kerak.Tekislikda biror O nuqtadan qo’yilgan nokollinear ixtiyoriy ikki vektor berilgan bo’lsin. Bu vektorlar sistemasi (xy) bazisni aniqlaydi. Tekislikda xy vektorlar orqali o’tuvchi a b (a b=0) to’g’ri chiziqlarni olamiz.