Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni

13-Mavzu. Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni.
Reja

1. 
   Ortogonal va ortonormal tizimlar
   
2. 
   Ortogonal proektsiyalar
   
3. 
   Unitar fazolar
   

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ixtiyoriy ikkita nol’dan farqli x va y vektorlar orasvdash burchak ta`rifini kiritishga imkon beradi:

chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan

Yunaltirilgan kesmalar fazosida burchakning bu ta`rifi burchakning oddiy ta`rifiga aylanadi.
T a ` r i f. Agar x va y vektorlar orasidagi burchak ga teng bo`lsa, bu vektorlar ortogonal deyiladi.
Agar x va y vektorlar ortogonal bo`lsa, u xolda . Aksincha, nol’dan farqli x va y vektorlar uchun bo`lsa, ular ortogonal.
Demak, yuqoridagi ta`rifni quyidagicha aytsa xam bo`ladi. Agar nol’dan farqli x va y vektorlar uchun bo`lsa, ular ortogonal deyiladi.
Evklid fazosidagi vektorlar tizimiga kiruvchi xar qanday ikkita vektor ortogonal bo`lsa, bu tizim ortogonal deyiladi. Agar ortogonal tizimga kiruvchi xar bir vektorning uzunligi birga teng bo`lsa, bu tizim ortonormal deyiladi. Xar qanday ortogonal tizimni, undagi xar bir vektorni uzunligiga bo`lab, ortonormal tizimga aylantirish mumkin.
Misol ko`ramiz. evklid fazosida vektordan iborat ushbu

vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun





Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu

ortonormal tizimni olamiz.


Teorema. CHekli o`lchamli evklid fazosida ortonormal tizimlar mavjud.
Isbot. Xaqiqatan (x, y) simmetrik bichiziqli formaning kanonik bazisi mavjud. Bu bazis vektorlari ortogonal, chunki bo`lganda . Bu bazis vektorlarining xar birini uning uzunligiga bo`lib, ortonormal bazisga kelamiz.
V evklvd fazosida ortonormal bazis va sonlar x vektorning bu bazisdagi koordinatalari bo`lsin. U xolda

Demak

Agar sonlar u vektorning o`sha bazisdagi ko-ordinatalari bo`lsa, u xolda

Xususan, uchun
va
V fazo sifatida tekislikdagi yo`naltirilgan kesmalar fazosini olsak, oxirgi tenglik Pifagorning klassik teoremasini beradi. SHuning uchun oxirgi tasdiqqa Pifagor teoremasining juda keng umumlashmasi deb qarash mumkin.