Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар

1.3. Юналишлар майдони, изоклиналар.
Ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенгламалар
(1)
Кўринишда ифодаланади. Агар функция (1) тенгламанинг ечими бўлса, ҳочиланинг геометрик маъносига кўра ҳосила шу функцияга графигига нуқтасида ўтказилган уринманинг бурчак тангенси, яъни уринманинг ўқи билан ташкил қилган бурчагининг тангенсига тенг бўлади. (1) тенглама берилган бўлса текислигининг функция аниқланган барча нуқталарида функция қийматига кўра нуқтадан ўтган интеграл егри чизиқ уринмасининг йўналишини аниқлашимиз ва чизишимиз мумкин бўлида. Агар бу йўналишни бирлик вектор сифатида чизмада ифодалайдиган бўлсак текислигида (1) тенгламанинг йўналишлар майдони ҳосил бўлар экан. Масалан текислигининг бизни қизиқтираётган маълум бир қисмини , йўналишлар бўйича қадам билан бўлиб чиқсак координата текислигида тўр ҳосил бўлади. Тўрнинг тугунлари нуқталарда ни ҳисоблаб тенгликдан бурчакни аниқлаймиз ва шу йўналишда бирлик векторларни чизамиз. Ҳосил бўлган чизма (1) дифференциал тенгламанинг йўналишлар майдони дейилади. Натижада 1 – расмдаги манзара ҳосил бўлади.

1 – расм
Йўналишлар майдонини чизишда изоклина тушунчасидан фойдаланиш самарали ва қулай бўлар экан.
Дифференциал тенгламанинг изоклинаси деб

тенглама билан ифодаланган нуқталарнинг геометрик ўрнига айтилади. C нинг ҳар бир қийматига маълум бир эгри чизиқ мос келар экан. Бу эгри чизиқнинг ҳар бир нуқтасида бўлгани учун бу эгри чизиқнинг барча нуқталарида йўналишлар майдони бир хил йўналишга эга бўлиб, бу йўналиш тенгликдан топилади. Буни қуйидаги мисолда намойиш қиламиз.

Дифференциал тенглама берилган бўлсин. Унинг изоклиналари тенгламага мос эгри чизиқлардан иборат бўлади. Бу эса маркази координат бошида бўлган радиуси бўлган айланалардан иборат бўлади. 2 – расмда бўлган холларга мос изоклиналар чизилган

2 – расм
Бу изоклиналарда тенгликдан аниқланиб айнан шу йўналишда йўналишлар майдони ифодаланган. 2 -, 3 -, 4 – чоракларда ҳам ҳар бир изоклинадаги йўналиш сақланади. Изоклиналар ва улардаги йўналишлар майдони асосида дифференциал танглама ечимлари графиклари, яъни интеграл эгри чизиқлар кўриниши ҳақида тасаввур пайдо бўлар экан. Бунинг учун бирор нуқтадан ўтган интеграл эгри чизиқни тақрибан ифодалаш усулини намойиш қиламиз. Бунинг учун нуқтадан ўтган изоклинадан уринма йўналишини аниқлаймиз ва бу йўналишда кейинги изоклинага мос йўналишда кесма чизамиз. Шундай қилиб чизмада мавжуд изоклиналарнинг барчасидан ўтадиган бўлсак чизмада синиқ чизиқ ҳосил бўлади. Бу синиқ чизиқ интеграл эгри чизиқнинг тахминий кўринишини ифодалайди. Изоклиналар орасидаги масофани қанчалик кичик олсак бу тасвир шунчалик аниқ бўлар экан. Чунки эгри чизиқ уринмаси уриниш нуқтасида эгри чизиқ билан умумий нуқтага эга бўлиб, бу нуқта атрофида эгри чизиққа яқин бўлади ва унинг геометрик белгиларини ўзида акс эттиради. Бу усулдан (1) теенглама ўнг тарафи функция мураккаб бўлиб тенглама ечимини бевосита топиш қийин бўлган ҳолларда ечим ҳақида дастлабки тассаввурларни ҳосил қилишда фойдаланиш мумкиин. Шунингдек (1) дифференциал тенглама ечимлари чексиз кўп эканлиги ва координат текиислигининг ихтиёрий нуқтасида ўтган ечим мавжудлиги ҳақида ҳам ишончли тасаввур ҳосил қилиш мумкин. Наъмуна сифатида 2 – расмда нуқтадан ўтган интеграл эгри чизиқ кўринишини ифодалаш кўрсатилган.
Мустақилечиш учун мисоллар.
1. дифференциал тенгламанинг қийматларга мос изоклиналари чизилсин ва уларда йўналишлар майдони кўрсатилсин.
2. дифференциал тенгламанинг қийматларга мос изоклиналари чизилсин ва уларда йўналишлар майдони кўрсатилсин ва нуқтадан ўтган интеграл эгри чизиқ таҳминий кўриниш чизилсин.