Основные положен

Задача. ВкубеАВСDА₁В₁С₁D₁ МиN –серединыреберА₁D₁ иВВ₁ (рис. 10). Найдите угол между прямой МN и диагональю ВD₁ [12].

Рис.10

Решение:

1. ВведемсистемукоординатсначаломкоординатвточкеDивекторами


1
DA,DC,DD


1
2. Находимкоординатыточек B,D_,MN :


1
B(1;1;0),D (0;0;1),M(0,5;0;1),N(1;1;0,5)


1
ИкоординатывекторовBD (1;11;1),MN(0,5;1;0,5).

26
3. Искомыйуголнаходитсяповышеуказаннойформуле:

Cosa= Ответ:


Задача. ВправильнойтреугольнойпирамидеSABC сторонаоснования

^равна8√ ^{иSC =17 (рис. 13) . Найдитеtg угла, образованногоплоскостью} основанияипрямойАО, гдеО–точкапересечениямедианграниABC [13].

Рис. 13

Решение:

1. ВведемсистемукоординатсцентромвточкеА.

^{2. НайдемкоординатыточекВ,А,C,O: B(8}√^{;0;0) А(0;0;0) ,C(4}√^{;12;0), О(4}√^{;4;15) икоординатывектора}n AO(4 3;4;15)
3. Составимуравнениеплоскостиоснования:

x0 y0 z 0

8 3 0 00
4 3 0 120
00 0 , 96 3z 0
00

4. Искомы уголнаходитсяповышеуказаннойформуле:



Расстояние от точки до плоскости




Рис 16

Длявычислениярасстояния(M;a) отточкиM(x₀, y₀,z₀) доплоскости

30
(рис. 16), заданной уравнением AxByCzD 0 можно использовать

следующуюформулу:

Взнаменателестоитдлинанормали,авчислителе—значениевыраженияиз левойчастиуравненияплоскостивточкеM.

Задача. Вправильнойшестиугольной пирамидеSABCEF (рис. 17), все

ребракоторой равны1, найдитерасстояниеотточкиЕ доплоскостиSDА [14].

Рис 17 Решение:
1. Введемпространственную системукоординатсначаломкоординатв точкеА.


2. Находимкоординатыточек S,D,E,A: А(0;0;0) , S (₂, ₂ , 3), Е(0; 3 ;0),

D(1; 3 ;0).

3. СоставимуравнениеплоскостиSDA:


x0 y0 z 0


1
₂ 0 ₂ 0 3 0 3x3y 10 3 0 00

^{Послеупрощенияуравнениепринимаетвид: -3x + =0}
4. Подставляемввышеуказаннуюформулу:

Задача. 1.В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что  .
Первый шаг. Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис.).
Важно оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек.
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D( ,0) и С(b,0).
Второй шаг.
Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:
(1)
По той же формуле  . (2)
Решив систему уравнений (1), найдем х и у:
;  .
Подставляя результат в формулу (2), получаем:  .
.
Задача 2.Вершина  параллелограмма  лежит на положительной полуоси  , вершина  имеет координаты  ;  . Найти координаты точки  сторону  диагональ 
Решение: Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат 
Так как  , то координаты точки  . Пусть координаты точки  .
Так как  параллелограмм, то  ;

Координаты равны, следовательно,


Итак,  ;
так как вектор  имеет те же координаты, что и точка  .
так как координаты вектора  совпадают с координатами точки 

Ответ:  ; 
Задача 3.Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин

Дано: 

;
.
Найти: периметр  .
Решение:
Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.
Найдем длину  :

Найдем длину  :

Найдем длину  :

Найдем периметр:

Ответ: 
Задача 5.
Вычислите расстояние между прямыми, содержащими противоположные стороны ромба, если длины его диагоналей равны  .
Решение
Введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть ABCD – ромб.  . Точка О – начало координат. Вершины ромба имеют координаты:
.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно:
.
Ответ: