O’tish chizig’i noxarakteristik bo’lgan sohada uchinchi tartibli parabolik-giperbolik tenglama uchun chegaraviy masala
Download 238.13 Kb.
|
1-18
O’tish chizig’i noxarakteristik bo’lgan sohada uchinchi tartibli parabolik-giperbolik tenglama uchun chegaraviy masala. 1§. Masalaning qo’yilishi. Ushbu sohada (1) tenglama uchun quyidagi masalani qaraymiz: Dc masala. Quyidagi shartlarni bajaruvchi funksiya aniqlansin: -yopiq sohada uzluksiz; bo’lganda sohada (1) tenglamaning regulyar yechimi; quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi; (2) (3) (4) (5) (6) kesmada quyidagi ulash shartlarini bajaradi: (7) (8) Bu yerda to’g’ri chiziqlardagi kesmalar hamda tenglmaning nuqtada kesuvchi xarakteristikalari bilan chegaralangan soha, kesmaga ichki normal yetarlicha differensiallanuvchi aniqlangan funksiyalar, va funksiyalar hozircha noma`lum, va haqiqiy sonlar, . 1§. Dc-masalaning maqsadi. Quyidagicha belgilash kiritamiz: (9) tenglamani o’ng tomoni noma’lum bo’lgan 2-tartibli tenglamaga keltiramiz: bu tenglamani (9) belgilashdan foydalanib va sohalarda quyidagicha yozish mumkin: (10) (11) bu yerda hozircha aniqlanmagan funksiyalar va . Dastlab sohada (11) tenglamani qaraymiz. (11) tenglamaning (7) va (8) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini quyidagi ko’rinishda yozamiz: (12) bu yerda Bessel funksiyalari, belgilashlar kiritsak (12) yechimni quyidagicha yozish mumkin: (12`) (12) yoki (12`) yechim (11) tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. Buning uchun funksiya va uning va bo’yicha 2-tartibli hosilalarini topib (11) tenglamaga qo’yilganda tenglama to’g’ri tenglikka aylanishi kerak: yoki Yuqoridagi hisoblab topilganlardan Bessel funksiyalarining xossalaridan doydalangan holda quyidagilarni topamiz: Endi (12`)ni – c ga ko’paytirib yuqoridagi ifodaga qo’ysak (11) tenglamani hosil qilamiz. Demak (12) yoki (12`) yechim (11) tenglamani qanoatlantirar ekan. (12`) yechimni (6) shart bilan qanoatlantiramiz. Buning uchun funksiyadan va lar bo’yicha 1-tartibli hosilalar kerak bo’ladi. Yuqorida hisoblangan va larning va lar bo’yicha 1-tartibli hosilalaridan foydalanamiz: (13) (14) (13) va (14) lardan foydalanib, (6) shartni qanoatlantirsak quyidagilarga ega bo’lamiz: (15) (15) tenglamada noma’lumlar soni uchta, ulardan birini, ya’ni ni topish uchun bu tenglamaning o’zi yetarli emas. Shuning uchun shunday 2-tenglamani hosil qilishimiz kerakki, hosil qilingan tenglama bilan (15) tenglama birgalikda bo’lsin, hamda tenglamalar sistemasini yechish orqali aniqlangan ma’lum funksiyalar orqali ifodalansin. Buning uchun (12`) ni (15) shart bilan qanoatlantirib, ba’zi alamashtirishlardan so’ng hosil bo’lgan tenglikni ga ko’paytirib quyidagi ko’rinishda yozamiz: (16) (15) tenglikdan bir marta hosila olib, ba’zi almashtirishlar va hisoblashlarni bajarib, quyidagi ko’rinishda yozamiz: (17) (16) ni (17) ga qo’shsak yoki bu tenglikni har ikkala tomonini ga ko’paytirib, ni bilan almashtirsak, quyidagini hosil qilamiz: (18) (18) dan foydalanib, (16) tenglikni quyidagicha yozamiz: (19) bu yerda (19) tenglikda ba’zi almashtirishlarni bajarib, ma’lum formulalardan foydalangan holda bu tenglikni quyidagi ko’rinishga keltiramiz: (20) bu yerda Endi sohada (10) tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani quyidagicha almashtirish asosida soddalashtiramiz: (21) u holda quyidagilarga ega bo’lamiz: Topilgan va uning hosilalarini (10) tenglamaga qo’yib, ushbu (21) tenglamani hosil qilamiz, bu yerda (21) belgilash natijasida (2),(3),(4) va (7),(8) shartlar ham (22) tenglamaga mos holda quyidagi ko’rinishni oladi: (23) (24) (25) (26) (22) tenglamaning (2),(23),(25) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi quyidagicha ko’rinishda yoziladi: (27) (27) ni x bo’yicha differensiallaymiz: (28) (28) tenglikda hisoblashni soddalashtirish va aniqlik uchun o’ng tomondagi integral qo’shiluvchilarni alohida-alohida ajratib, bo’laklab integrallab hisoblaymiz: Hisoblab topilgan va larni (28) ga qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz: (29) (22) tenglamada bo’lganda (30) tenglamaga ega bo’lamiz. (30) ni hisoblabga olgan holda va (29) ni (26) shart asosida yozadigan bo’lsak, u holda (29) quyidagi ko’rinishni oladi: (31) (25) va (26) ni hisobga olgan holda (31) ni quyidagicha yozamiz: (32) bu yerda (32) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz: (33) Endi (20) dan ni hosil qilamiz (34) (20) va (34) dagi larning ifodalarini (33) ga qo’yamiz: Oxirgi tenglamada integrallar ostidagi ifodalarda ayrim almashtirishlarni bajarib, quyidagi holga keltiramiz: (35) tenglama funksiyaga nisbatan Volterning II-tur integral tenglamasi. Uni quyidagi ko’rinishda yozamiz: bu yerda - yadro kuchsiz maxsuslikka ega, - uzluksiz funksiya, u holda (36) tenglama yagona yechimga ega bo’ladi. Uning yechimini quyidagicha yozamiz: bu yerda yadroning rezolventasi. Qolgan lar orqali topiladi. Download 238.13 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling