O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

12.4.  Endi 
1
l   fazoning  qo‘shmasini  topamiz.  12.2-misolning  c)  bandidagiga 
o‘xshash mulohazalar qilib ko‘rsatish mumkinki, 
1
l  fazoning qo‘shmasi 
m
=
∞
l
 - 
chegaralangan  ketma-ketliklar  fazosiga  izomorfdir,  ya’ni 
m
=
∗
1
l
.  Quyidagi 
tasdiqlarni o‘quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz: 
1
0
1
l
l
=
=
∗
∗
c
,
c
. 
Bu tengliklarni izomorfism aniqligida tushunish kerak. 
12.5.  Endi 
[ ]
b
a
C
X
,
=
  fazoga  qo‘shma  fazoni  izomorfizm  aniqligida  topamiz. 
Ma’lumki, 
[ ]
b
a,
 kesmada aniqlangan va 
a
t
=
 nuqtada nolga aylanuvchi o‘zgarishi 
chegaralangan funksiyalar fazosi 
[ ]
b
a
V
;
0
 orqali belgilanadi (8.15-misolga qarang). 
Ko‘rsatish  mumkinki,  bu  to‘plam  funksiyalarni  qo‘shish  va  ularni  songa 
ko‘paytirish  amallariga  nisbatan  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi.  Bu  fazoda  x  
elementning  normasi 
[ ]
x
V
x
b
a
=
  tenglik  bilan  aniqlanadi.  Bu  yerda 
[ ]
x
V
b
a
 
o‘zgarishi  chegaralangan  x   funksiyaning 
[ ]
b
a,
  kesmadagi  to‘la  o‘zgarishi. 
Ko‘rsatamizki, 
[ ]
b
a
V
b
a
C
;
])
,
[
(
0
=
∗
. 
Biz 
[ ]
b
a
M
,
 - bilan 
[ ]
b
a,
  kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funksiyalar 
to‘plamini  belgilaymiz.  Bu  to‘plam  odatdagi  funksiyalarni  qo‘shish  va  songa 
ko‘paytirish  amallariga  nisbatan  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi  (8-§  ning  3-
topshirig‘iga qarang) Bu fazoda  x  elementning normasi 
( )
t
x
x
b
t
a
≤
≤
=
sup
 
tenglik bilan aniqlanadi. Har bir  
]
,
[ b
a
C
x
∈
  funksiya chegaralangan va  
( )
( )
t
x
t
x
b
t
a
b
t
a
≤
≤
≤
≤
=
max
sup
 
tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun 
[ ]
b
a
C ,
 fazoni 
[ ]
b
a
M
,
 fazoning qism fazosi sifatida 
qarash  mumkin.  Endi 
[ ]
b
a
C
f
,
*
∈
  ixtiyoriy  chiziqli  uzluksiz  funksional  bo‘lsin. 
Normalangan  fazolarda  Xan-Banax  teoremasiga  (12.3-teoremaga  qarang)  ko‘ra 
[ ]
b
a
C
f
,
*
∈
  funksionalni  normasini saqlagan  holda butun 
[ ]
b
a
M
,
  fazoga davom 

 
166 
ettirish  mumkin.  F   deb  f   funksionalning 
[ ]
b
a
C ,
  dan 
[ ]
b
a
M
,
  ga  davomini 
belgilaymiz. 
Endi  
( )



≤
≤
≤
≤
=
b
t
t
a
t
ξ
ξ
ξ
ϕ
agar
,
,
agar
,
0
1
 
[ ]
b
a
t
,
∈
  funksiyalar  oilasini  qaraymiz.  Ravshanki,  ixtiyoriy 
[ ]
b
a
t
,
∈
  uchun 
t
ϕ
∈
[ ]
b
a
M
,
.  F   funksionalning 
t
ϕ
∈
[ ]
b
a
M
,
  elementdagi  qiymatini 
( )
t
u
  deb 
belgilaymiz, ya’ni  
( )
)
(
t
F
t
u
ϕ
=
,    
[ ]
b
a
t
,
∈
.   
Natijada 
[ ]
b
a,
  kesmada  u   funksiya  aniqlandi.  Bu  funksiyaning  o‘zgarishi 
chegaralangan ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun 
[ ]
b
a,
 kesmani ixtiyoriy chekli 
sondagi 
b
t
t
t
t
t
a
n
n
=
<
<
<
<
<
=
−
1
2
1
0
...
 
 
   (12.13) 
nuqtalar bilan bo‘lakchalarga ajratamiz. (12.13) bo‘linishga mos 
( ) ( )
∑
=
−
−
n
k
k
k
t
u
t
u
1
1
 
yig‘indini qaraymiz. Agar 
( ) ( )
[
]
n
k
t
u
t
u
sign
k
k
k
...,
,
2
,
1
,
1
=
−
=
−
α
 
belgilashlarni kiritsak, u holda  
( ) ( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
[
]
(
)
.




−
=
−
=
=
−
=
−
∑
∑
∑
∑
=
=
=
−
=
−
−
−
n
k
t
t
k
n
k
t
t
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
k
k
k
k
F
F
F
t
u
t
u
t
u
t
u
1
1
1
1
1
1
1
1
ϕ
ϕ
α
ϕ
ϕ
α
α
 
F  chiziqli funksionalning chegaralanganligi va 
f
F
=
 dan  
( ) ( )
(
)
∑
∑
=
=
−
=
−
⋅
=
−
−
n
k
n
k
t
t
k
k
k
f
F
t
u
t
u
k
k
1
1
1
1
ϕ
ϕ
α
 
tenglik kelib chiqadi. So‘nggi tenglik  
(
)
[ ]
( )
( )
(
)
1
sup
1
,
1
1
1
=
−
=
−
∑
∑
=
∈
=
−
−
n
k
t
t
k
b
a
n
k
t
t
k
k
k
k
k
ξ
ϕ
ξ
ϕ
α
ϕ
ϕ
α
ξ
 
tenglikka asoslangan. Shunday qilib, (12.13) ko‘rinishdagi ixtiyoriy bo‘linishda  
( ) ( )
∑
=
−
−
n
k
k
k
t
u
t
u
1
1
f
≤
 
tengsizlik o‘rinli. Bundan kelib chiqadiki, 
[ ]
b
a
V
u
,
∈
 va  
[ ]
f
u
V
b
a
≤
.   
 
      (12.14) 
]
,
[ b
a
C
x
∈
– ixtiyoriy element bo‘lsin. Har bir n natural son uchun 
[ ]
b
a,
 kesmani 
b
t
t
t
t
t
a
n
n
=
<
<
<
<
<
=
−
1
2
1
0
...
,   
n
k
k
n
a
b
a
t
k
...,
,
2
,
1
,
=
−
+
=
 
 (12.15) 
nuqtalar yordamida  n  ta teng bo‘lakka ajratamiz va 

 
167 
( )
( ) ( )
( )
[
]
∑
=
−
−
=
n
k
t
t
k
n
t
t
t
x
t
y
k
k
1
1
ϕ
ϕ
 
 
 
  (12.16) 
pog‘onasimon  funksiyani  quramiz.  U  holda 
)
(
n
y
F
  quyidagi  formula  bo‘yicha 
aniqlanadi:  
)
(
n
y
F
( ) ( ) ( )
[
]
∑
=
−
−
=
n
k
k
k
k
t
u
t
u
t
x
1
1
. 
Bu 
n
y   funksiyalarning  aniqlanishidan  ko‘rinib  turibdiki, 
( ) ( )
a
x
a
y
n
=
  va  agar 
k
k
t
t
t
<
<
−
1
    bo‘lsa 
( ) ( )
n
k
t
x
t
y
k
n
...,
,
2
,
1
,
=
=
.  Kantor  teoremasiga  ko‘ra  x  
funksiya 
[ ]
b
a,
  kesmada  tekis  uzluksiz  funksiya  bo‘ladi.  Shuning  uchun 
0
>
ε
 
uchun  shunday 
0
>
δ
  mavjud  bo‘lib, 
δ
<
−
'
x
x
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi 
barcha 
[ ]
b
a
t
t
,
'
,
∈
 lar uchun
( ) ( )
ε
<
−
t
x
t
x
'
 tengsizlik bajariladi. Shunday ekan,  n  
yetarlicha katta bo‘lganda  
δ
<
−
n
a
b
 
bo‘lgani uchun  
[ ]
( )
( )
[
]
( ) ( )
ε
<
−
=
−
−
∈
∈
k
t
t
t
n
b
a
t
t
x
t
x
t
y
t
x
k
k
,
,
1
max
max
 
tengsizlik  bajariladi.  Bu  yerdan 
{ }
n
y
  ketma-ketlikning  x   funksiyaga  [a;b] 
kesmada  tekis  yaqinlashishi  kelib  chiqadi.  F   uzluksiz  funksional  bo‘lganligi 
uchun   
( )
( )
x
F
y
F
n
n
=
∞
→
lim
. 
Ikkinchi tomondan 
[ ]
b
a,
 da uzluksiz  x  va 
[ ]
b
a,
 da o‘zgarishi chegaralangan  u  
funksiyalar uchun  
( ) ( )
∫
b
a
t
du
t
x
 
Riman-Stiltes  integrali  mavjudligi  va  (12.16)  yig‘indi  uning  (12.15)  bo‘linish 
bo‘yicha integral yig‘indisi bo‘lganligi sababli  
( )
( )
( ) ( ) ( )
[
]
( ) ( )
∫
∑
=
−
=
=
=
−
∞
→
∞
→
b
a
n
k
k
k
k
n
n
n
t
du
t
x
t
u
t
u
t
x
y
F
x
F
1
1
lim
lim
.  
Ammo 
]
,
[ b
a
C
x
∈
 bo‘lgani uchun 
( ) ( )
x
f
x
F
=
, ya’ni 
( )
( ) ( )
.
∫
=
b
a
t
du
t
x
x
f
   
 
 
   (12.17)  
tenglik  o‘rinli.  Shunday  qilib  ixtiyoriy 
]
,
[ b
a
C
x
∈
  uchun 
)
(x
f
  (12.17)  formula 
bo‘yicha aniqlanadi. 
Riman-Stiltes integrallari uchun o‘rta qiymat haqidagi teoremaga ko‘ra ixtiyoriy 
]
,
[ b
a
C
x
∈
 uchun  
( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
u
V
t
x
t
du
t
x
x
f
b
a
b
a
t
b
a
,
max
∈
≤
=
∫
 
yoki 
( )
[ ]
[ ]
x
u
V
x
f
b
a
b
a
t
,
max
∈
≤
 

 
168 
tengsizlikni olamiz. Bundan 
[ ]
u
V
f
b
a
≤
                               (12.18) 
tengsizlik kelib chiqadi. Endi (12.14) va (12.18) tengsizliklarni taqqoslab,  
[ ]
u
V
f
b
a
=
          
 
 
(12.19)  
tenglikka ega bo‘lamiz. Olingan natijalardan tashqari yana shuni ta’kidlash 
lozimki, 
( )
0
≡
t
a
ϕ
 va 
0
)
0
(
=
F
 bo‘lgani uchun 
( )
( )
0
=
=
a
F
a
u
ϕ
 shart o‘rinli. 
Endi f funksional uchun olingan natijalarni jamlab, quyidagi F.Riss teoremasini 
keltiramiz. 
12.4-teorema. 
[ ]
b
a
C ,
  fazoda  berilgan  ixtiyoriy  f   chiziqli  uzluksiz  funksional 
uchun  shu  f   funksional  bo‘yicha  aniqlanuvchi  shunday 
[ ]
b
a
V
u
,
0
∈
  o‘zgarishi 
chegaralangan  funksiya  mavjudki,  barcha 
]
,
[ b
a
C
x
∈
  larda  (12.17)  va  (12.19) 
tengliklar o‘rinli.  
Ko‘rsatish  mumkinki, 
[ ]
1  har bir o‘zgarishi chegaralangan 
[ ]
b
a
V
u
,
0
∈
 funksiya 
(12.17)  tenglik  yordamida  yagona 
[ ]
b
a
C
f
,
*
∈
  funksionalni  aniqlaydi.  Shuning 
uchun, 
[ ]
b
a
C
,
*
 dagi chiziqli  funksionallar bilan 
[ ]
b
a
V
,
0
 o‘zgarishi chegaralangan 
funksiyalar  fazosining  elementlari  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik  mavjud. 
Bundan  tashqari 
u
f
=
  bo‘lgani  uchun,  bu  moslik  izomorfdir,  ya’ni 
[ ]
b
a
C
,
*
=
[ ]
b
a
V
,
0
. 
12.6.  Berilgan 
[ ]
b
a,
  kesmada 
)
1
(
>
p
p
  -  darajasi  bilan  Lebeg  ma’nosida 
integrallanuvchi  funksiyalar  sinfini   
[ ]
b
a
L
p
;
  bilan  belgilaymiz  (8.15-misolga 
qarang). Ma’lumki, 
[ ]
b
a
L
p
;
 to‘la normalangan fazo, ya’ni Banax fazosidir. 
Endi 
1
>
p
  uchun  (12.7)  munosabatni  qanoatlantiruvchi 
q
  sonni  olamiz. 
Isbotlamasdan quyidagi tasdiqni keltiramiz. Har bir 
[ ]
b
a
L
f
p
,
*
∈
 funksional  uchun 
yagona 
[ ]
b
a
L
y
p
,
∈
 element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy 
[ ]
b
a
L
x
p
;
∈
 larda 
( )
( ) ( )
∫
=
b
a
dt
t
y
t
x
x
f
  
 
 
 
(12.20) 
tenglik  bajariladi  va  aksincha, 
[ ]
b
a
L
y
p
,
∈
  uchun  (12.20)  formula 
[ ]
b
a
L
p
;
*
  ga 
tegishli  biror  funksionalni  aniqlaydi.  Bundan  tashqari  (12.20)  formula 
[ ]
b
a
L
p
;
*
  va 
[ ]
b
a
L
q
;
  fazolar  o‘rtasida  izometrik  moslik  o‘rnatadi.  Shuning  uchun 
[ ]
b
a
L
p
;
*
  va 
[ ]
b
a
L
q
;
  fazolar  o‘zaro  izomorfdir,  ya’ni   
[ ]
b
a
L
p
;
*
=
[ ]
b
a
L
q
;
.  Xususan, 
2
=
p
  da 
[ ]
b
a
L
;
*
2
=
[ ]
b
a
L
;
2
. Shuning uchun 
[ ]
b
a
L
;
2
 o‘z-o‘ziga qo‘shma fazo  deyiladi. 
12.7.  Hilbert  fazosida  chiziqli  funksionalning  umumiy  ko‘rinishi  quyidagicha 
( ) ( )
y
x
x
f
,
=
,  ya’ni  ixtiyoriy  f   chiziqli  uzluksiz  funksionalga  shu  fazoning 
yagona 
y
  elementi  mos  keladi,  shuning  uchun  Hilbert  fazosi  o‘z-o‘ziga  qo‘shma 
fazo  hisoblanadi.  Xuddi  shu  sababli,  n   -  o‘lchamli  Evklid  fazosi  ham  o‘z-o‘ziga 
qo‘shma fazo bo‘ladi.  
 
 

 
169 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
( )
1
0
0
0
,
:
x
x
f
C
c
f
=
→
  chiziqli  funksionalni  normasini  saqlagan  holda 
c  fazoga chiziqli davom ettiring. 
2.  Chiziqli funksional davomi yagonami? Javobni asoslang. 
3. 
[ ]
[ ]
( ) ( )
0
,
1
;
0
1
;
0
:
2
2
x
x
f
C
C
f
=
→
 
funksionalni 
chiziqli 
chegaralanganlikka tekshiring. 
4.  Evklid  fazolarida  chiziqli  funksionalning  umumiy  ko‘rinishi  qanday  
bo‘ladi?  
5.  Uzluksiz funksiyalar fazosi 
[ ]
1
,
1
−
C
 dagi barcha toq funksiyalar to‘plami 
[ ]
0
1
,
1
L
C
=
−
−
  (8.14-misolga  qarang) qism fazo tashkil qiladi. 
0
L  qism 
fazoda 
0
f  chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: 
( )
( )
0
1
1
0
L
x
,
dt
t
x
t
x
f
∈
=
∫
−
. 
0
f  funksionalni normasini saqlagan holda 
[ ]
1
,
1
−
C
 gacha davom ettiring. 
6. 
1
l ,  
2
l   va  
1
,
≥
p
p
l
  fazolarga qo‘shma fazolarni toping. 
7. 
c
c ,
0
 va  m  fazolarga qo‘shma fazolarni toping. 
8. 
[ ]
b
a
C ,
 fazoga qo‘shma fazoni toping. 
9. 
[ ]
b
a
L
;
2
 fazoga qo‘shma fazoni toping. 
10.  H   Hilbert fazosiga qo‘shma fazoni toping. 
  
19-mavzu: Chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi 
 
13. Chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi 
   
Bu  paragrafda  biz  chiziqli  uzluksiz  (chegaralangan)  operatorlar  fazosi 
)
,
(
Y
X
L
 
ning  to‘laligi  haqidagi  teoremani  isbotlaymiz.  Operatorlar  ketma-ketligining  
kuchsiz,  kuchli  (nuqtali)  va  tekis  (norma  bo‘yicha)  yaqinlashish  ta’riflarini 
beramiz. Ularni misollarda tahlil qilamiz. 
13.1-ta’rif.  Agar 
(
)
Y
X
L
A
n
,
}
{
∈
  operatorlar  ketma-ketligi  uchun  shunday 
(
)
Y
X
L
A
,
∈
  operator  mavjud  bo‘lib, 
∞
→
→
−
n
A
A
n
,
0
  bo‘lsa, 
}
{
n
A
 
operatorlar  ketma-ketligi  A   operatorga  norma  bo‘yicha  yoki  tekis  yaqinlashadi 
deyiladi va 
A
A
u
n
→

 shaklda belgilanadi.