O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

 
10.1. Kompleks Evklid fazolari 
 
Haqiqiy Evklid fazolari bilan bir qatorda kompleks Evklid fazolari ham qaraladi 
(ya'ni  skalyar  ko‘paytma  kiritilgan  kompleks  chiziqli  fazo).  Lekin  haqiqiy  Evklid 
fazolaridagi  skalyar  ko‘paytmaning  1-4  aksiomalari  kompleks  Evklid  fazolari 
uchun  bir  vaqtda  bajarilmaydi.  Haqiqiy  Evklid  fazolarida  skalyar  ko‘paytmaning 
1-4 aksiomalari quyidagicha edi: 
1)  
,
0
)
,
(
;
,
0
)
,
(
θ
=
⇔
=
∈
∀
≥
x
x
x
E
x
x
x
  
2)  
,
,
),
,
(
)
,
(
E
y
x
x
y
y
x
∈
∀
=
 
3)  
E
y
x
C
y
x
y
x
∈
∀
∈
∀
=
,
,
),
,
(
)
,
(
λ
λ
λ
, 
4)  
E
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
∈
∀
+
=
+
,
,
),
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
. 
Biz 2 va 3 dan quyidagiga ega bo‘lamiz 
( )
,
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
x
x
x
x
x
x
x
x
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
 

 
128 
bu  yerdan 
i
=
λ
  bo‘lsa, 
)
,
(
)
,
(
x
x
ix
ix
−
=
,  ya'ni  x   va  ix   vektorlarning  skalyar 
ko‘paytmasi bir vaqtda musbat bo‘la olmaydi, bu esa 1-shartga zid, ya'ni 1, 2 va 3-
shartlar  bir  vaqtda  bajarilishi  mumkin  emas  ekan.  Demak,  kompleks  chiziqli 
fazolarda skalyar ko‘paytmaning shartlarini biroz o‘zgartirish kerak. 
Kompleks chiziqli fazoda skalyar ko‘paytmaning shartlarini keltiramiz:  
1)  
,
0
)
,
(
;
,
0
)
,
(
θ
=
⇔
=
∈
∀
≥
x
x
x
E
x
x
x
  
2)  
,
,
,
)
,
(
)
,
(
E
y
x
x
y
y
x
∈
∀
=
 
3)  
E
y
x
C
y
x
y
x
∈
∀
∈
∀
=
,
,
),
,
(
)
,
(
λ
λ
λ
,  
4)  
E
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
∈
∀
+
=
+
,
,
),
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
2
1
. 
2 va 3 dan 
)
,
(
)
,
(
y
x
y
x
λ
λ
=
 kelib chiqadi. Haqiqatan ham, 
(
) ( )
( )
( )
y
x
x
y
x
y
x
y
y
x
,
,
,
,
)
,
(
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
=
. 
Misollar. 10.9. 
n
C
E
=
 - kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda skalyar ko‘paytma 
quyidagicha kiritiladi: 
( )
∑
=
=
n
k
k
k
y
x
y
x
1
,
. 
10.10. 
(
)






∞
<
∈
=
=
∑
∞
=
1
2
1
2
:
,
,...
,...,
n
n
n
n
x
C
x
x
x
x
l
  kompleks  chiziqli  fazo. 
Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi: 
( )
∑
∞
=
=
1
,
k
k
k
y
x
y
x
. 
10.11. 
]
,
[
2
b
a
C
E
=
  - 
]
,
[ b
a
  kesmada  aniqlangan  kompleks  qiymatli  uzluksiz 
funksiyalar fazosi. Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi: 
( )
( ) ( )
dt
t
g
t
f
g
f
b
a
∫
=
,
.                  (10.2) 
10.12. 
]
,
[
2
b
a
L
E
=
 - 
]
,
[ b
a
 kesmada aniqlangan kompleks qiymatli va kvadrati 
bilan  integrallanuvchi  ekvivalent  funksiyalar  sinfi.  Bu  fazoda  ham  f   va 
g
 
elementlarning skalyar ko‘paytma (10.2) tenglik bilan aniqlanadi. 
Kompleks  Evklid  fazolarida  ham  elementning  normasi  xuddi  haqiqiy  Evklid 
fazolari holidagidek 
(
)
f
f
f
,
=
   yoki   
( )
x
x
x
,
=
  
formula bilan aniqlanadi. 
Kompleks  Evklid  fazolarida  ikki  vektor  orasidagi  burchak  tushunchasi 
kiritilmaydi,  lekin  vektorlarning  ortogonallik  tushunchasi  saqlanib  qoladi.  Ya'ni, 
agar 
0
)
,
(
=
y
x
 bo‘lsa, u holda  x  va 
y
 vektorlar o‘zaro ortogonal deyiladi. 
10.4-ta'rif. Agar 
(
)



≠
=
=
.
m
n
,
m
n
,
,
m
n
agar
agar
0
1
φ
φ
 

 
129 
bo‘lsa, nolmas 
E
n
∈
}
{
φ
 sistema ortogonal normalangan sistema deyiladi. 
Xuddi  haqiqiy  Evklid  fazolaridagi  kabi, 
(
)
N
n
,
,
f
c
n
n
∈
=
φ
  sonlar 
E
f
∈
 
vektorning 
}
{
n
φ
  ortonormal  sistema  (ortogonal  normalangan  sistema)  dagi  Fur'e 
koeffitsiyentlari deyiladi. 
∑
∞
=
1
n
n
n
c
φ
 
qator  f   vektorning 
}
{
n
φ
  sistemadagi  Fur'e  qatori  deyiladi.  Bu  yerda  ham  Bessel 
tengsizligi o‘rinli: 
2
1
2
∑
∞
=
≤
n
n
f
c
 
Kompleks Evklid fazolari holida ham Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi o‘z kuchini 
saqlaydi: 
( )
y
x
y
,
x
⋅
≤
. 
10.5-ta'rif.  Cheksiz  o‘lchamli  to‘la  kompleks  Evklid  fazosi  kompleks  Hilbert 
fazosi deyiladi. 
Kompleks Hilbert fazolari uchun ham izomorfizm haqidagi teorema o‘rinli. 
10.4-teorema. Barcha separabel kompleks Hilbert fazolari o‘zaro izomorfdir. 
10.13. 
2
l
 va 
]
,
[
2
b
a
L
 lar separabel kompleks Hilbert fazolariga misol bo‘ladi. 
10.14. 
]
,
[
2
π
π
−
L
 separabel kompleks Hilbert fazosida  
( )
Z
n
e
t
t
n
i
n
∈
=
,
2
π
ϕ
 
sistema to‘la ortonormal sistema bo‘ladi. Mustaqil isbotlang.  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
Hilbert fazolariga misollar keltiring. 
2
l
 fazo Hilbert fazosi bo‘ladimi?  
2. 
Separabel bo‘lmagan Evklid fazosiga misol keltiring.  
3. 
m - chegaralangan ketma-ketliklar fazosida  
( )
∑
∞
=
=
1
2
1
,
n
n
n
n
y
x
y
x
 
funksional skalyar ko‘paytma bo‘ladimi? m separabel Evklid fazosi bo‘ladimi?  
4. 
2
l  fazoni ikkita ortogonal qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida yozing.  
5. 
]
1
,
1
[
2
−
L
  Hilbert  fazosida 
[ ]
[ ]
{
}
)
(
)
(
t
f
t
f
:
,
L
f
,
L
=
−
−
∈
=
−
+
1
1
1
1
2
2
  juft 
funksiyalar  to‘plami  qism  fazo  bo‘lishini  ko‘rsating.  Uning  ortogonal 
to‘ldiruvchisini toping.  
6. 
10.7-misolda keltirilgan 
−
0
L
  qism fazoning ortogonal to‘ldiruvchisini toping. 
7. 
Hilbert fazolarining to‘g‘ri yig‘indisida skalyar ko‘paytma qanday kiritiladi?   

 
130 
8. 
]
1
,
1
[
2
2
−
L
va
l
  Hilbert  fazolarining  to‘g‘ri  yig‘indisida  skalyar  ko‘paytma 
qanday kiritiladi?  
9. 
Quyidagi funksional 
]
1
,
1
[
2
2
−
⊕
L
l
 Hilbert fazosida  
( ) ( )
(
)
( ) ( )
[ ]
1
1
2
2
1
1
1
,
L
g
,
f
,
y
,
x
,
dx
x
g
x
f
y
x
g
,
y
,
f
,
x
n
n
n
−
∈
∈
+
=
∫
∑
−
∞
=
l
 
   skalyar ko‘paytma bo‘ladimi? 

 
148 
15-mavzu: Chiziqli opеratorlar. Misollar 
 
11-§. Chiziqli uzluksiz operatorlar 
 
Biz  asosan  chiziqli  operatorlarni  qaraymiz.  Chiziqli  operatorlarning  aniqlanish 
sohasi  va  qiymatlar  to‘plami  chiziqli  normalangan  fazolarning  qism  fazolari 
bo‘ladi.  Shunday  qilib  bizga  X   va  Y   chiziqli  normalangan  fazolar  berilgan 
bo‘lsin. 
11.1-ta’rif.  X   fazodan  olingan  har  bir  x   elementga  Y   fazoning    yagona 
y
 
elementini mos qo‘yuvchi 
(
)
Y
y
X
x
y
Ax
∈
∈
=
,
 
akslantirish operator deyiladi. 
Umuman  A  operator  X  ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. Bu 
holda 
Ax
  mavjud  va  
Y
Ax
∈
 bo‘lgan barcha 
X
x
∈
 lar  to‘plami  A  operatorning 
aniqlanish sohasi deyiladi va 
)
( A
D
 bilan belgilanadi, ya’ni: 
( ) {
}
.
va
mavjud
:
Y
Ax
Ax
X
x
A
D
∈
∈
∃
=
 
Agar    chiziqli  A   operator  qaralayotgan  bo‘lsa, 
)
( A
D
  ning  chiziqli  ko‘pxillilik 
bo‘lishi  talab  qilinadi,  ya’ni  agar 
( )
A
D
y
x
∈
,
  bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy 
C
∈
β
α,
 
lar uchun 
( )
A
D
y
x
∈
+
β
α
. 
11.2-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
( )
X
A
D
y
x
⊂
∈
,
  elementlar  va  ixtiyoriy 
C
∈
β
α,
 
sonlar uchun 
y
A
x
A
y
x
A
β
α
β
α
+
=
+
)
(
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa,  A  ga chiziqli operator deyiladi. 
11.3-ta’rif.  Bizga 
Y
X
A
→
:
  operator  va 
( )
A
D
x
∈
0
  nuqta  berilgan    bo‘lsin. 
Agar 
Y
Ax
y
∈
=
0
0
 ning ixtiyoriy 
V
 atrofi uchun,  
0
x   nuqtaning shunday 
U
 atrofi 
mavjud  bo‘lib,  ixtiyoriy 
( )
A
D
U
x
I
∈
  lar  uchun 
V
Ax
∈
  bo‘lsa,  A   operator 
0
x
x
=
 nuqtada uzluksiz deyiladi. 
11.3-ta’rifga teng kuchli  quyidagi ta’riflarni keltiramiz. 
11.4-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
0
>
ε
  uchun  shunday 
( )
0
>
=
ε
δ
δ
  mavjud  bo‘lib, 
δ
<
−
0
x
x
  tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha  
( )
A
D
x
∈
  lar uchun 
ε
<
−
0
Ax
Ax
 
tengsizlik bajarilsa,  A  operator 
0
x
x
=
 nuqtada uzluksiz  deyiladi. 
11.5-ta’rif.  Agar 
0
x   nuqtaga  yaqinlashuvchi  ixtiyoriy 
n
x   ketma-ketlik  uchun 
0
0
→
−
x
A
x
A
n
 bo‘lsa, u holda  A  operator 
0
x  nuqtada uzluksiz deyiladi. 
Agar  A   operator  ixtiyoriy 
( )
A
D
x
∈
  nuqtada  uzluksiz  bo‘lsa,  A   uzluksiz 
operator deyiladi. 
11.6-ta’rif. 
θ
=
Ax
  tenglikni  qanoatlantiruvchi  barcha 
X
x
∈
  lar  to‘plami  A  
operatorning yadrosi deb ataladi va u 
KerA
  bilan belgilanadi. 

 
149 
11.7-ta’rif. Biror 
( )
A
D
x
∈
 uchun 
x
A
y
=
 bajariladigan 
Y
y
∈
 lar to‘plami  A  
operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deb ataladi va u 
A
Im
 yoki 
)
( A
R
 bilan 
belgilanadi. 
Matematik  formulalar  yordamida  operator  yadrosi  va  qiymatlar  sohasini 
quyidagicha yozish mumkin: 
( )
,
}
:
{
θ
=
∈
∃
=
Ax
A
D
x
KerA
 
( )
.
}
uchun
biror
:
{
Im
:
)
(
Ax
y
A
D
x
Y
y
A
A
R
=
∈
∈
∃
=
=
 
Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko‘pxillik bo‘ladi. Agar 
X
A
D
=
)
(
  bo‘lib,  A   uzluksiz  operator  bo‘lsa,  u  holda 
KerA
  yopiq  qism  fazo 
bo‘ladi,  ya’ni  
]
[KerA
KerA
=
.  A  operator  uzluksiz bo‘lgan holda  ham 
Y
A
⊂
Im
 
yopiq qism fazo bo‘lmasligi mumkin. 
Chiziqli operatorlarga misollar. 
11.1.  X  - ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin.  
x
Ix
=
,    
X
x
∈
 
akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  Bu  operatorning  chiziqliligi  va  uzluksizligi  quyidagi  tengliklardan 
bevosita  kelib chiqadi: 
y
I
x
I
y
x
y
x
I
β
α
β
α
β
α
+
=
+
=
+
)
(
, 
(
)
0
0
x
x
x
x
I
−
=
−
. 
Qo‘shimcha  qilib  aytishimiz  mumkinki,  uning  aniqlanish  sohasi,  qiymatlar  sohasi 
va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli: 
}
0
{
    
,
)
(
  
,
)
(
=
=
=
KerI
X
I
R
X
I
D
. 
11.2. Bizga  X  va Y  ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar berilgan  bo‘lsin.  
θ
=
Θ
→
Θ
x
Y
X
,
:
 
operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  Nol  operatorning  chiziqliligi  va  uzluksizligi  bevosita  ta’rifdan  kelib 
chiqadi.  Uning  aniqlanish  sohasi,  qiymatlar  sohasi  va  yadrosi  uchun  quyidagilar 
o‘rinli: 
,
)
(
X
D
=
Θ
       
{ }
,
)
(
θ
=
Θ
R
      
X
Ker
=
Θ
)
(
. 
11.3.  Aniqlanish  sohasi 
)
( A
D
( )
[ ] [ ]
b
a
C
b
a
C
;
,
1
⊂
=
  bo‘lgan  va 
[ ]
b
a
C ;
  fazoni 
o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi 
[ ]
b
a
C
A
;
:
→
[ ]
b
a
C ;
,   
( )( )
( )
x
f
x
Af
'
=
  
operatorni qaraymiz.  Bu operator differensial operator deyiladi. Uni chiziqlilik  va 
uzluksizlikka tekshiring. 
Yechish.  Uning  chiziqli  ekanligini  ko‘rsatamiz.  Buning  uchun  ixtiyoriy 
)
(
,
A
D
g
f
∈
 elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lgan 
g
f
β
α
+
 elementga 
A  operatorning ta’sirini qaraymiz: 
(
)
(
)( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )( )
( )( )
x
Ag
x
Af
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
f
A
β
α
β
α
β
α
β
α
+
=
+
=
+
=
+
'
'
'
. 
Biz  bu  yerda  yig‘indining  hosilasi  hosilalar  yig‘indisiga  tengligidan,  hamda 
o‘zgarmas  sonni  hosila  belgisi  ostidan  chiqarish  munkinligidan  foydalandik. 
Demak,  A   operator  chiziqli  ekan.  Uni  nol  nuqtada  uzluksizlikka  tekshiramiz. 
Ma’lumki, 
θ
θ
=
A
,  bu  yerda 
θ
  - 
[ ]
b
a
C ;
  fazoning  nol  elementi,  ya’ni 
( )
0
≡
x
θ
. 

 
150 
Endi  nolga  yaqinlashuvchi 
( )
A
D
f
n
∈
  ketma-ketlikni  tanlaymiz.  Umumiylikni 
buzmagan holda 
1
,
0
=
=
b
a
deymiz. 
0
1
1
lim
1
max
lim
lim
,
1
)
(
1
1
0
1
=
+
=
+
=
+
=
∞
→
+
≤
≤
∞
→
∞
→
+
n
n
x
f
n
x
x
f
n
n
x
n
n
n
n
n
. 
Ikkinchi tomondan, 
( )( )
0
1
1
lim
max
lim
lim
,
1
0
≠
=
=
=
−
=
∞
→
≤
≤
∞
→
∞
→
n
n
x
n
n
n
n
n
x
A
Af
x
x
Af
θ
. 
Demak,  A   operator  nol  nuqtada  uzluksiz  emas    ekan.  11.2-teoremaga  ko‘ra 
differensial operator aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga ega. 
Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli: 
}
{
        
],
,
[
)
(
const
KerA
b
a
C
A
R
=
=
.