O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

10.2. 
2
l
  va 
]
,
[
2
b
a
L
  lar  cheksiz  o‘lchamli  to‘la  separabel  Evklid  fazolaridir 
(9.7-misolga qarang). Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo‘ladi. 
10.2-ta'rif.  Agar  R   va 
*
R   Evklid  fazolari  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik 
o‘rnatish mumkin bo‘lib, 
*
R
*
y
*,
x
,
R
y
,
x
*,
y
y
*,
x
x
∈
∈
↔
↔
 
ekanligidan 
( ) (
)
*
*,
,
*
*,
*
y
x
y
x
va
x
x
y
x
y
x
=
↔
+
↔
+
λ
λ
 
munosabatlar kelib chiqsa,  R  va 
*
R  lar izomorf fazolar deyiladi. 

 
123 
Boshqacha  aytganda,  Evklid  fazolarining  izomorfligi  shundan  iboratki,  bu 
fazolar  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik  mavjud  bo‘lib,  bu  moslik  shu 
fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi. 
Ma'lumki,  n   -  o‘lchamli  ixtiyoriy  ikkita  Evklid  fazosi  o‘zaro  izomorfdir. 
Cheksiz o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas. Masalan 
2
l
 
va 
]
,
[
2
b
a
C
 fazolar izomorf emas, chunki 
2
l
 to‘la, 
]
,
[
2
b
a
C
 esa to‘la emas.  
Quyidagi teorema o‘rinli. 
10.1-teorema. Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o‘zaro izomorfdir. 
Isbot.  Ixtiyoriy 
H
  Hilbert  fazosini 
2
l
  fazoga  izomorfligini  ko‘rsatamiz.  Agar 
shuni  ko‘rsatsak,  teorema  isbot  bo‘lgan  bo‘ladi. 
H
  Hilbert  fazosidan  ixtiyoriy 
}
{
n
φ
  to‘la  ortonormal  sistemani  olamiz  va 
H
f
∈
  elementga  uning  Fur'e 
koeffitsiyentlari  bo‘lgan 
...
,
...,
,
,
2
1
n
c
c
c
  ketma-ketlikni  mos  qo‘yamiz.  Bessel 
tengsizligiga ko‘ra, 
∞
<
∑
∞
=
1
2
n
n
c
. 
Shuning  uchun 
(
)
K
K
,
c
,
,
c
,
c
c
n
2
1
=
  ketma-ketlik 
2
l
  fazoning  elementi 
bo‘ladi.  Teskarisi,  Riss-Fisher    teoremasiga  ko‘ra, 
2
l
  fazoning  ixtiyoriy 
(
)
K
K
,
c
,
,
c
,
c
c
n
2
1
=
  elementiga  (ketma-ketligiga) 
H
  fazoning  yagona  f  
elementi mos keladi va uning Fur'e koeffitsiyentlari bo‘lib, 
...
,
...,
,
,
2
1
n
c
c
c
 sonlar 
xizmat qiladi. O‘rnatilgan bu moslik o‘zaro bir qiymatlidir. Agar 
)
,
,
,
,
(
2
1
K
K
n
c
c
c
f
↔
    va    
)
,
,
,
,
(
2
1
K
K
n
d
d
d
g
↔
 
bo‘lsa, u holda 
)
,
,
,
,
(
2
2
1
1
K
K
n
n
d
c
d
c
d
c
g
f
+
+
+
↔
+
  
va 
)
,
,
,
,
(
2
1
K
K
n
c
c
c
f
α
α
α
α
↔
  
Va nihoyat, Parseval tengligidan 
( )
( )
d
c
d
c
g
f
n
n
n
,
,
1
=
=
∑
∞
=
 
ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, 
(
)
∑
∞
=
=
1
2
,
n
n
c
f
f
,      
( )
∑
∞
=
=
1
2
,
n
n
d
g
g
             (10.1) 
va 
(
) ( ) ( ) ( )
(
)
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
1
2
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
d
c
c
d
c
g
,
g
g
,
f
f
,
f
g
f
,
g
f
. 
Bu yerdan va (10.1) dan 
( )
( )
d
c
d
c
g
f
n
n
n
,
,
1
=
=
∑
∞
=
. 

 
124 
Shunday  qilib,  biz  o‘rnatgan  moslik  izomorfizm  ekan,  ya'ni  bu  moslik  chiziqli 
amallarni va skalyar ko‘paytmani saqlaydi. ∆ 
Isbotlangan  teoremadan  shu  narsa  kelib  chiqadiki,  izomorfizm  aniqligida  faqat 
2
l
  Hilbert  fazosi  mavjud  ekan.  Boshqacha  aytganda, 
2
l
  fazo 
H
  Hilbert 
fazosining "koordinat ko‘rinishi" desak bo‘ladi. 
H
  Hilbert    fazosining  qism  fazosi  deganda  yopiq  qism  fazoni  tushunamiz. 
Hilbert fazosining qism fazolariga misollar keltiramiz. 
Misollar.  10.3. 
H
h
∈
  -  ixtiyoriy  element  bo‘lsin. 
h
  ga  ortogonal  bo‘lgan 
barcha 
H
f
∈
 elementlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi. 
10.4. 
2
l
  fazoda 
2
1
x
x
=
  shartni  qanoatlantiruvchi  elementlari  to‘plami  qism 
fazo tashkil qiladi. 
10.5. 
2
l
  fazoning 
(
)
{
}
,...
,
x
,
...,
,
x
,
,
x
,
,
x
x
:
x
M
n
0
0
0
0
1
2
5
3
1
2
+
=
∈
=
l
  to‘plami 
uning qism fazosi bo‘ladi. 
Hilbert  fazosining  har  qanday  qism  fazosi  yo  chekli  o‘lchamli  Evklid  fazosi 
bo‘ladi, yo uning o‘zi Hilbert fazosini tashkil qiladi. 
10.6. 
]
1
,
1
[
2
−
L
 
Hilbert 
fazosida 
toq 
funksiyalardan 
iborat 
{
}
f(t)
f(-t)
 :
]
[
f
]
[
=
−
∈
=
−
−
1
1
1
1
2
2
,
L
,
L
 to‘plam qism fazo tashkil qiladi. 
10.7. 
]
1
,
1
[
2
−
L
 
Hilbert 
fazosida 
quyidagi 
to‘plam 
]}
0
,
1
[
,
0
)
(
:
]
1
,
1
[
{
]
1
,
1
[
2
0
−
∈
≡
−
∈
=
−
−
t
t
f
L
f
L
 qism fazo tashkil qiladi. 
Agar 
H
  Hilbert  fazosi  separabel  bo‘lsa,  uning  ixtiyoriy  qismi  ham  separabel 
bo‘ladi. Bu quyidagi lemmadan kelib chiqadi. 
10.1-lemma.
R
  separabel  Evklid  fazosining  har  qanday 
R
′
  qismi  yana 
separabeldir. 
Hilbert  fazosining  qism  fazolari  ayrim  maxsus  xossalarga  egaki,  ixtiyoriy 
normalangan  fazoning qism  fazolari bu xossalarga ega emas. Bu  xossalar  Hilbert 
fazosida  kiritilgan  skalyar  ko‘paytma  va  unga  mos  ortogonallik  tushunchasiga 
asoslangan. 
H
 separabel  Hilbert  fazosining 
M
 qism  fazosi  berilgan bo‘lsin. Bu qism  fazo 
ning  hamma  yerida  zich  bo‘lgan  sanoqli  sistema  olamiz  va  unga 
ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, quyidagi teoremaga ega bo‘lamiz. 
10.2-teorema. 
H
  separabel  Hilbert  fazosining  ixtiyoriy 
M
  qism  fazosida 
shunday 
}
{
n
φ
 ortonormal sistema mavjudki, uning chiziqli qobig‘ining yopig‘i 
M
 
ga teng. 
Bizga 
H
 Hilbert  fazosining 
M
 - qism  fazosi berilgan bo‘lsin. Barcha 
M
f
∈
 
elementlarga ortogonal bo‘lgan 
H
g
∈
 elementlar to‘plamini 
M
H
M
Θ
=
⊥
 orqali 
belgilaymiz, ya'ni 
( )
}
,
0
,
:
{
M
f
g
f
H
g
M
∈
∀
=
∈
=
⊥
. 

 
125 
⊥
M
 ham 
H
 ning qism fazosi ekanligini isbotlaymiz. Bu to‘plamning qo‘shish va 
songa  ko‘paytirish  amallariga  nisbatan  yopiqligini  ko‘rsatamiz.  Agar 
⊥
∈
M
g
,
g
2
1
 
bo‘lsa, u holda 
(
)
0
)
,
(
)
,
(
,
2
2
1
1
2
2
1
1
=
+
=
+
f
g
f
g
f
g
g
α
α
α
α
. 
Endi 
⊥
M
  to‘plamning  yopiqligini  ko‘rsatamiz.  Faraz  qilaylik, 
⊥
∈
M
g
n
 
elementlar  ketma-ketligi 
H
g
∈
  elementga  yaqinlashsin.  U  holda  skalyar 
ko‘paytmaning uzluksizligiga ko‘ra, istalgan 
M
f
∈
 uchun  
( )
(
)
(
)
0
=
=
=
∞
→
∞
→
f
,
g
f
,
g
f
,
g
n
n
n
n
lim
lim
. 
Demak, 
⊥
∈
M
g
, ya'ni 
⊥
M
 yopiq qism fazo bo‘lar ekan. 
⊥
M
 qism fazo 
M
 qism 
fazoning ortogonal to‘ldiruvchisi deyiladi. 
10.3-teorema.  Agar 
M
  - 
H
  Hilbert  fazosining  yopiq  qism  fazosi  bo‘lsa,  u 
holda ixtiyoriy 
H
f
∈
 element yagona usul bilan 
h
h
f
′
+
=
 yig‘indiga yoyiladi, 
bu yerda 
⊥
∈
′
∈
M
h
M
h
,
. 
Isbot.  Avvalo, bu  yoyilmaning  mavjudligini  isbotlaymiz.  Buning  uchun 
M
 da 
}
{
n
φ
 to‘la ortonormal sistema olamiz va 
(
)
n
n
n
n
n
f
c
c
h
φ
φ
,
,
1
=
=
∑
∞
=
 
deymiz. Bessel tengsizligiga ko‘ra, 
∑
∞
=
1
2
n
n
c
 
qator yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun 
.
M
h
∈
 Endi 
h
f
h
−
=
′
 deb olamiz. Ko‘rinib 
turibdiki, ixtiyoriy 
N
n
∈
 uchun 
(
) (
) (
)
0
,
,
,
'
=
−
=
−
=
n
n
n
n
n
c
c
h
f
h
φ
φ
φ
. 
Ixtiyoriy 
M
∈
ξ
 element uchun  
∑
∞
=
=
1
n
n
n
a
φ
ξ
   va    
( )
(
)
0
,
'
,
'
1
=
=
∑
∞
=
n
n
n
h
a
h
φ
ξ
, 
ya'ni 
⊥
∈
′
M
h
. 
Endi  yoyilmaning  yagonaligini  isbotlaymiz.  Faraz  qilaylik,  boshqa  bir 
⊥
∈
′
∈
′
+
=
M
h
M
h
h
h
f
1
1
1
1
,
,
  yoyilma  mavjud bo‘lsin. U  holda  ixtiyoriy 
N
n
∈
  
uchun 
(
) (
)
n
n
n
c
f
h
=
=
φ
φ
,
,
1
. 
Bu yerdan kelib chiqadiki  
h
h
h
h
′
=
′
=
1
1
,
. ∆ 
10.1-natija. 
H
M
⊂
  qism  fazoning  ortogonal  to‘ldiruvchisining  ortogonal 
to‘ldiruvchisi 
M
 ning o‘ziga teng, ya'ni 
( )
M
M
=
⊥
⊥
. 

 
126 
Shunday  qilib, 
H
  fazoning  o‘zaro  to‘ldiruvchi  qism  fazolari  haqida  gapirish 
mumkin.  Agar 
M
  va 
⊥
M
  ikkita  shunday  bir-birini  to‘ldiruvchi  qism  fazolar  va 
}
{
},
{
n
n
φ
φ
′
  -  mos  ravishda 
M
  va 
⊥
M
  dagi  to‘la  ortonormal  sistema  bo‘lsa,  u 
holda 
}
{
n
φ
  va 
}
{
n
φ
′
  sistemalarning  birlashmasi  butun 
H
  fazoda  to‘la 
ortonormal sistema  bo‘ladi. 
10.2-natija. 
H
  fazodagi  har  qanday  ortonormal  sistemani  to‘la  sistemagacha 
to‘ldirish mumkin. 
Agar 
}
{
n
φ  sistema chekli bo‘lsa, u holda bu sistemaga kiruvchi elementlar soni 
}
{
n
φ
  sistemadan  hosil  qilingan 
M
  qism  fazoning  o‘lchamiga  va 
⊥
M
  qism 
fazoning koo‘lchamiga teng. Shunday qilib, quyidagiga egamiz. 
10.3-natija.  Chekli  n   -  o‘lchamli  qism  fazoning  ortogonal  to‘ldiruvchisi  n   - 
koo‘lchamga ega va aksincha. 
10.3-ta'rif. Agar 
H
 Hilbert fazosining ixtiyoriy 
H
f
∈
 elementi 
⊥
∈
∈
+
=
M
h
M
h
h
h
f
'
,
,
'
 
ko‘rinishda  tasvirlansa,  u  holda 
H
  fazo  o‘zaro  ortogonal 
M
  va 
⊥
M
  qism 
fazolarning to‘g‘ri yig‘indisiga yoyilgan deyiladi va  
⊥
⊕
=
M
M
H
 
ko‘rinishda yoziladi. 
To‘g‘ri  yig‘indini  chekli  yoki  sanoqli  sondagi  qism  fazolar  uchun  ham 
umumlashtirish mumkin, ya'ni 
H
 o‘zining 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
M
M
M
 qism fazolarining 
to‘g‘ri yig‘indisiga yoyilgan deyiladi, agarda quyidagi shartlar bajarilsa:  
a) 
i
M  qism fazolar juft-jufti bilan o‘zaro ortogonal, ya'ni 
i
M  dagi ixtiyoriy vektor 
k
M  dagi ixtiyoriy vektorga ortogonal, 
k
i
≠
;  
b) ixtiyoriy  
H
f
∈
  element  
K
,
2
,
1
,
...,
...
2
1
=
∈
+
+
+
+
=
n
M
h
h
h
h
f
n
n
n
           (10.2)  
ko‘rinishda tasvirlanadi, agar qo‘shiluvchilar soni cheksiz bo‘lsa,  
∑
∞
=
1
2
n
n
h
 
qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu holda 
∑
∞
=
⊕
=
1
n
n
M
H
 ko‘rinishda yoziladi. 
Osongina ko‘rsatish mumkinki, agar  f  uchun (10.2) yoyilma mavjud bo‘lsa, u 
yagona va 
∑
∞
=
=
1
2
2
n
n
h
f
. 
Qism  fazolarning  to‘g‘ri  yig‘indisi  bilan  bir  qatorda  chekli  yoki  sanoqli  sondagi 
Hilbert  fazolarining  to‘g‘ri  yig‘indisi  haqida  ham  gapirish  mumkin.  Agar 
1
H
  va 
2
H
  lar  ixtiyoriy  Hilbert  fazolari  bo‘lsa,  u  holda  ularning  to‘g‘ri  yig‘indisi 
2
1
H
H
H
⊕
=
  quyidagicha  aniqlanadi. 
H
  fazoning  elementlari  barcha 

 
127 
(
)
2
2
1
1
2
1
,
,
,
H
h
H
h
h
h
∈
∈
  juftliklardan  iborat. 
2
1
H
H
H
⊕
=
  da  skalyar 
ko‘paytma quyidagicha kiritiladi: 
(
) (
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
'
,
,
'
,
,
'
,
'
,
'
,
'
,
,
2
1
H
h
h
H
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
H
H
∈
∈
+
=
. 
Chekli sondagi 
n
H
H
H
,
,
,
2
1
K
 Hilbert fazolarining to‘g‘ri yig‘indisi ham xuddi 
shunday aniqlanadi. 
Sanoqli  sondagi 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
H
H
H
  Hilbert  fazolarining  to‘g‘ri  yig‘indisi 
∑
∞
=
⊕
=
1
n
n
H
H
 quyidagicha aniqlanadi 
(
)






+∞
<
∈
=
=
∑
∞
=
1
2
2
1
,
,
,...
,...,
,
n
n
n
n
n
h
H
h
h
h
h
h
H
. 
H
 fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi 
( )
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
H
g
h
g
g
g
g
h
h
h
h
g
h
g
h
∈
=
=
=
∑
∞
=
,
,
,...
,...,
,
,
,...
,...,
,
,
,
,
2
1
2
1
1
. 
10.8. 10.6-misolda keltirilgan 
]
1
,
1
[
2
−
−
L
 (toq funksiyalar to‘plami) qism fazoning 
ortogonal to‘ldiruvchisini toping. 
Yechish. 
)}
(
)
(
:
]
1
,
1
[
{
]
1
,
1
[
2
2
t
f
t
f
L
f
L
=
−
−
∈
=
−
+
  juft  funksiyalardan  iborat 
to‘plam 
]
[
1
1
2
,
L
−
  fazoning  qism  fazosi  bo’ladi  va 
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
2
2
−
⊥
−
+
−
L
L
.  Haqiqatan 
ham,  
(
)
( ) ( )
]
1
,
1
[
],
1
,
1
[
,
0
,
2
2
1
1
−
∈
∀
−
∈
∀
=
⋅
=
+
+
−
−
−
+
−
+
−
∫
L
f
L
f
dt
t
f
t
f
f
f
. 
Bu  yerdan 
(
)
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
2
2
−
⊃
−
+
⊥
−
L
L
  va 
(
)
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
2
2
−
⊂
−
+
⊥
−
L
L
  munosabatlar  kelib 
chiqadi. Bulardan esa  
(
)
]
1
,
1
[
]
1
,
1
[
2
2
−
=
−
+
⊥
−
L
L
 tenglikni olamiz.