O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

 
7.6-ta'rif. 
L
  -  kompleks  chiziqli  fazo  va  unda  aniqlangan  manfiymas 
p
 
funksional berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 
L
y
x
∈
,
 va ixtiyoriy 
C
∈
α
 uchun 
(
) ( ) ( )
y
p
x
p
y
x
p
+
≤
+
   va   
( )
( )
x
p
x
p
α
α
=
 
shartlar bajarilsa, u holda 
p
 - qavariq funksional deyiladi. 
 
7.4-teorema.  (Xan-Banax). 
p
  -  L   kompleks  chiziqli  fazoda  aniqlangan 
qavariq funksional, 
0
f
 esa  
0
L
 qism fazoda aniqlangan va bu qism fazoda 
( )
( )
0
0
L
x
,
x
p
x
f
∈
≤
 
shartni  qanoatlantiruvchi  chiziqli  funksional  bo‘lsin.  U  holda  butun  L   da 
aniqlangan va  
( )
( )
( )
( )
L
x
,
x
p
x
f
,
L
x
,
x
f
x
f
∈
∀
≤
∈
∀
=
0
0
 
shartlarni qanoatlantiruvchi 
f
 chiziqli funksional mavjud. 
 
Isbot. 
L
 va 
0
L
 fazolarni haqiqiy chiziqli fazo sifatida qarab, mos ravishda 
R
L
  va 
R
L
0
  bilan  belgilaymiz.  Tushunarliki, 
p
  funksional 
R
L
  da  aniqlangan 
qavariq funksional bo‘ladi, 
( )
( )
x
f
x
f
R
0
0
Re
=
 esa 
( )
( )
(
)
0
0
0
L
L
x
,
x
p
x
f
R
R
=
∈
≤
 
shartni,  bundan  esa 
( ) ( )
x
p
x
f
R
≤
0
  shartni  qanoatlantiruvchi 
R
L
0
  dagi  haqiqiy 
chiziqli funksional bo‘ladi. 7.3-teoremaga ko‘ra, 
R
L
 da aniqlangan va 
( ) ( )
( )
L
L
x
,
x
p
x
f
R
R
=
∈
≤
, 
( )
( )
(
)
0
0
0
,
L
L
x
x
f
x
f
R
R
R
=
∈
=
 

 
94 
shartni qanoatlantiruvchi 
R
f
 chiziqli funksional mavjud. Tushunarliki, 
( )
( ) ( ) ( )
x
p
x
p
x
f
x
f
R
R
=
−
≤
−
=
−
. 
Demak, 
( )
( )
( )
L
L
x
,
x
p
x
f
R
R
=
∈
≤
 
 
 
 (7.4) 
Endi   f  funksionalni  L   da quyidagicha aniqlaymiz 
( )
( )
( )
ix
f
i
x
f
x
f
R
R
−
=
. 
Murakkab  bo‘lmagan  hisoblashlar  yordamida  ko‘rsatish  mumkinki,  f   -  L  
kompleks chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksional bo‘ladi hamda 
( )
( )
( )
( )
L
x
x
f
x
f
L
x
x
f
x
f
R
∈
∀
=
∈
∀
=
,
Re
,
,
0
0
 
Ixtiyoriy 
L
x
∈
  uchun 
( )
( )
x
p
x
f
≤
  ekanligini  ko‘rsatsak,  teorema  isbot  bo‘ladi. 
Teskaridan  faraz  qilamiz.  Qandaydir 
L
x
∈
0
  uchun 
( )
( )
0
0
x
p
x
f
≥
  bo‘lsin. 
( )
0
x
f
 
kompleks  sonni 
( )
0
,
0
>
=
ρ
ρ
ϕ
i
e
x
f
  ko‘rinishda  yozamiz  va 
0
0
x
e
y
i
ϕ
−
=
  deb 
olamiz. U holda  
( )
( )
( )
[
]
( ) ( )
0
0
0
0
0
Re
Re
y
p
x
p
x
f
e
y
f
y
f
i
R
=
>
=
=
=
−
ρ
ϕ
. 
Bu esa (7.4) shartga zid.  ∆  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
]
,
[
0
b
a
V
 
qism 
fazoda 
aniqlangan 
)
(
)
(
0
b
x
x
f
=
 
funksional 
uchun 
R
b
a
V
f
→
]
,
[
:
, 
( )
b
x
a
x
x
f
+
=
)
(
)
(
α
  funksional  uning  davomi  bo‘ladimi? 
]
,
[
,
|
)
(
|
|
)
(
|
)
(
b
a
V
x
b
x
a
x
x
p
∈
+
=
  funksional  qavariqmi?  Parametr 
R
∈
α
 
ning  qanday  qiymatlarida  bu  funksionallar  uchun  7.3-teorema  shartlari 
bajariladi? 
2. 
Yadrosi bo‘sh to‘plam bo‘lgan qavariq to‘plamga misol keltiring. 
3. 
2
R   fazoda  qavariq  va  qavariq  bo‘lmagan  funksionalga  misol  keltiring.  Bu 
fazoda 
( )
( )
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
va
x
x
x
p
x
x
x
p
+
=
+
=
  funksional-larni  qavariqlikka 
tekshiring. 
4. 
7.6-misolda  keltirilgan 
0
f
  va  f   funksionallarning  chiziqli  ekanligini 
ko‘rsating. 
5. 
7.6-misolda  keltirilgan 
p
  akslantirishning  chekli  qavariq  funksional 
ekanligini ko‘rsating.  
6. 
Berilgan 
[ ]
( )
}
1
max
:
;
{
≤
∈
=
≤
≤
t
x
b
a
C
x
E
b
t
a
  qavariq  jismga  mos  Minkovskiy 
funksionalini quring. 
7. 
( )
2
1
2
,
:
x
x
x
p
R
R
p
+
=
→
  funksionalni  chekli  qavariq  funksional  ekanligini 
ko‘rsating.  Unga  mos 
( )
}
1
:
{
2
≤
∈
=
x
p
R
x
E
  qavariq  jismni 
2
R   fazoda  
chizib ko‘rsating. 

 
105 
8. Chiziqli normalangan fazolar 
 
Chiziqli  fazolarda  elementlarning  bir-biriga  yaqinligi  degan  tushuncha  yo‘q. 
Ko‘plab  amaliy  masalalarni  hal  qilishda  elementlarni  qo‘shish  va  ularni  songa 
ko‘paytirish  amallaridan  tashqari,  elementlar  orasidagi  masofa,  ularning  yaqinligi 
tushunchasini  kiritishga  to‘g‘ri  keladi.  Bu  bizni  normalangan  chiziqli  fazo 
tushunchasiga  olib  keladi.  Normalangan  fazolar  nazariyasi  S.Banax  va  boshqa 
matematiklar tomonidan rivojlantirilgan. 
8.1-ta'rif.  Bizga  L   -  chiziqli  fazo  va  unda  aniqlangan 
p
  funksional  berilgan 
bo‘lsin. Agar  
p
  quyidagi uchta shartni qanoatlantirsa, unga norma deyiladi:  
1) 
;
0
)
(
;
,
0
)
(
θ
=
⇔
=
∈
∀
≥
x
x
p
L
x
x
p
  
2) 
L
x
C
a
x
p
a
ax
p
∈
∀
∈
∀
=
,
),
(
)
(
; 
3) 
L
y
x
y
p
x
p
y
x
p
∈
∀
+
≤
+
,
),
(
)
(
)
(
. 
8.2-ta'rif.  Norma  kiritilgan 
L
  chiziqli  fazo  chiziqli  normalangan  fazo  deyiladi 
va 
L
x
∈
 elementning normasi  
x
  orqali belgilanadi. 
Agar  L  - normalangan fazoda 
L
y
x
∈
,
 elementlar jufti uchun 
( )
y
x
y
x
−
=
,
ρ
 
sonni  mos  qo‘ysak, 
ρ   funksional  metrikaning  1-3  aksiomalarini  qanoatlantiradi 
(1.1-ta'rifga  qarang).  Metrika  aksiomalarining  bajarilishi  normaning  1-3 
shartlaridan  bevosita  kelib  chiqadi.  Demak,  har  qanday  chiziqli  normalangan 
fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Metrik fazolarda o‘rinli bo‘lgan barcha 
tasdiqlar (ma'lumotlar) chiziqli normalangan fazolarda ham o‘rinli. 
X
 chiziqli normalangan fazoda 
}
{
n
x
 ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. 
8.3-ta'rif. Biror 
X
x
∈
 va ixtiyoriy 
0
>
ε
 uchun shunday 
0
)
(
0
0
>
=
ε
n
n
 mavjud  
bo‘lib,  barcha   
0
n
n
>
    larda 
ε
<
−
x
x
n
  tengsizlik  bajarilsa, 
}
{
n
x
  ketma-ketlik  
X
x
∈
  elementga yaqinlashadi deyiladi. 
8.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy 
0
>
ε
 son uchun shunday 
0
0
0
>
=
)
(
n
n
ε
 mavjud bo‘lib, 
barcha 
N
p
va
n
n
∈
>
0
  larda 
ε
<
−
+
n
p
n
x
x
  tengsizlik  bajarilsa, 
}
{
n
x
  - 
fundamental ketma-ketlik deyiladi. 
8.3 va 8.4 ta'riflarni 2.6 va 3.1 ta'riflar  bilan taqqoslang. 
8.5-ta'rif.  Agar 
X
  chiziqli  normalangan  fazodagi  ixtiyoriy 
}
{
n
x
  fundamental 
ketma-ketlik  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u  holda   
X
  to‘la  normalangan  fazo  yoki 
Banax fazosi deyiladi. 
Bu ta'rifni to‘la metrik fazolar mavzusidagi 3.2-ta'rif bilan taqqoslang. 
Chiziqli normalangan fazolarga misollar keltiramiz. 
8.1. 
R
L
=
  -  haqiqiy  sonlar  to‘plami.  Agar    ixtiyoriy 
R
x
∈
  soni  uchun 
x
x
=
 sonni mos qo‘ysak, 
R
 normalangan fazoga aylanadi. 
8.2. 
C
L
=
  -  kompleks  sonlar  to‘plami.  Bu  yerda  ham  norma  yuqoridagidek 
kiritiladi: 
z
z
=
. 

 
106 
8.3. 
n
R
L
=
 -  n  - o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda  
n
k
n
k
p
n
k
p
k
p
n
k
k
R
x
,
x
x
,
x
x
,
x
x
∈
=






=
=
≤
≤
∞
=
=
∑
∑
1
1
1
1
2
max
 
funksionallar  norma  shartlarini  qanoatlantiradi. 
n
R   chiziqli  fazoda 
p
⋅
  norma 
kiritilgan  bo‘lsa,  uni 
n
p
R
,  agar 
∞
⋅
  norma  kiritilgan  bo‘lsa  uni 
n
R
∞
  deb 
belgilaymiz (1.3-1.5, 1.11-misollar bilan taqqoslang). 
8.4. 
n
C
L
=
 -  n  - o‘lchamli kompleks chiziqli fazo (5.3-misol). Bu fazoda  
∑
=
=
n
k
k
z
z
1
2
 
funksional norma shartlarini qanoatlantiradi. 
8.5. 
]
,
[
]
,
[
b
a
b
a
C
L
−
=
  kesmada  aniqlangan  uzluksiz  funksiyalar  fazosi  (5.4-
misol). Bu fazoda 
]
,
[
b
a
C
f
∈
 elementning normasi (1.6-misol bilan taqqoslang)  
( )
x
f
f
b
x
a
≤
≤
=
max
, 
tenglik bilan aniqlanadi. Xuddi 8.3-misoldagidek 
]
,
[
b
a
C
 chiziqli fazoda norma  
∫
=
b
a
dt
t
f
f
|
)
(
|
1
 
formula vositasida kiritilgan bo‘lsa, uni 
]
,
[
1
b
a
C
 (1.9-misol), agar norma  
∫
=
b
a
dt
t
f
f
2
2
|
)
(
|
 
tenglik orqali kiritilgan bo‘lsa uni 
]
,
[
2
b
a
C
 (1.8-misolga qarang) deb belgilaymiz. 
Quyida biz chiziqli fazo va unda kiritilgan normalarni beramiz. 
8.6. 
2
l
 fazoda   x   elementning normasi quyidagicha kiritiladi:  
∑
∞
=
=
1
2
k
k
x
x
. 
8.7. 
m
c
c
,
,
0
 fazolarda  x  elementning normasi quyidagicha kiritiladi:  
n
n
x
x
∞
<
≤
=
1
sup
. 
m
va
c
c ,
,
0
2
l
 fazolarning aniqlanishi 5.5-5.8 misollarda keltirilgan. 
8.8. 
]
,
[
b
a
M
  -  bilan 
]
,
[
b
a
  kesmada  aniqlangan  barcha  chegaralangan 
funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Bu to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va 
songa  ko‘paytirish  amallariga  nisbatan  chiziqli  fazo  tashkil  qiladi.  Bu  fazoda 
aniqlangan  
( )
( )
[ ]
b
a
M
x
t
x
x
p
b
t
a
,
,
sup
∈
=
≤
≤
               (8.1) 

 
107 
funksional norma shartlarini qanoatlantiradi va 
]
,
[
b
a
M
 chiziqli normalangan fazo 
bo‘ladi. 
8.9. 
]
,
[
)
(
b
a
C
n
  -  bilan 
]
,
[
b
a
  kesmada  aniqlangan  n   marta  uzluksiz 
differensiallanuvchi  funksiyalar  to‘plamini  belgilaymiz. 
]
,
[
)
(
b
a
C
n
  to‘plam 
odatdagi  funksiyalarni qo‘shish  va songa ko‘paytirish amallariga  nisbatan chiziqli 
fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan  
( )
( )
( )
( )
( )
]
,
[
,
max
max
1
b
a
C
x
t
x
t
x
x
p
n
n
k
k
b
t
a
b
t
a
∈
+
=
∑
=
≤
≤
≤
≤
            (8.2) 
funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi. 
8.10. 
]
,
[
b
a
  kesmada  aniqlangan  o‘zgarishi  chegaralangan  funksiyalar  fazosi 
]
,
[
b
a
V
 (1.13 va 5.11-misollarga qarang) ni qaraymiz. Bu fazoda  
R
b
a
V
p
→
]
,
[
:
,   
( )
]
[
|
)
(
|
x
V
a
x
x
p
b
a
+
=
              (8.3) 
funksional  norma  aksiomalarini  qanoatlantiradi  va 
]
,
[
b
a
V
  chiziqli  normalangan 
fazo bo‘ladi. 
Endi Banax fazolariga misollar keltiramiz. 
8.11. 
0
,
,
1
,
,
]
,
[
,
,
c
c
p
b
a
C
R
R
p
n
p
n
≥
l
 fazolarni to‘lalikka tekshiring. 
Yechish.  To‘la  metrik  fazolar  (3-paragraf)  mavzusidan  ma'lumki 
n
R , 
n
p
R , 
0
,
,
1
,
,
]
,
[
c
c
p
b
a
C
p
≥
l
 lar (3.3-3.7 misollarga qarang) to‘la metrik fazolar edi. 
Shuning uchun ular to‘la normalangan fazolar, ya'ni Banax fazolari bo‘ladi. 
8.12. 
]
,
[
2
b
a
C
  to‘la  bo‘lmagan  (3.8  misolga  qarang)  metrik  fazo  edi.  Shuning 
uchun 
]
,
[
2
b
a
C
 to‘la bo‘lmagan normalangan fazoga misol bo‘ladi. 
 
8.1. Normalangan fazoning qism fazosi 
 
Biz  yuqorida  chiziqli  fazoning  qism  fazosi  tushunchasini  kiritgan  edik,  ya'ni 
agar ixtiyoriy 
0
,
L
y
x
∈
 elementlar va ixtiyoriy 
β
α,
 sonlar uchun 
0
L
y
x
∈
+
β
α
 
bo‘lsa, bo‘sh bo‘lmagan  
L
L
⊂
0
  qism to‘plam, qism fazo deyilar edi. 
Normalangan  fazolarda  yopiq  qism  fazolar,  ya'ni  barcha  limitik  nuqtalarini 
o‘zida  saqlovchi  qism  fazolar  muhim  ahamiyatga  ega.  Chekli  o‘lchamli 
normalangan  fazolarda  har  qanday  qism  fazo  yopiqdir.  Cheksiz  o‘lchamli  
normalangan  fazolarda  qism  fazolar  doim  yopiq  bo‘lavermaydi.  Quyida 
keltiriladigan misol fikrimizni tasdiqlaydi. 
8.13. Uzluksiz funksiyalar fazosi  
]
,
[
b
a
C
  dagi barcha ko‘phadlar to‘plami qism 
fazo tashkil qiladi, lekin u yopiq emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun 
( )
!
...
!
2
1
2
n
t
t
t
t
P
n
n
+
+
+
+
=
 
ko‘phadlar  ketma-ketligini  qaraymiz.  Ravshanki, 
}
{
n
P   fundamental  ketma-ketlik 
bo‘lib, uning limiti 
t
e
t
x
=
)
(
 ga teng. 
t
e
t
x
=
)
(
 funksiya  esa ko‘phad emas. 

 
108 
Normalangan fazolarda asosan yopiq chiziqli qism fazolarni qaraymiz. Shuning 
uchun 5-§ da kiritilgan qism fazo atamasiga o‘zgartirish kiritish tabiiydir.  
8.6-ta'rif.  Agar  L   normalangan  fazoning 
L
L
⊂
0
  qism  to‘plamida  ixtiyoriy 
0
L
y
,
x
∈
 elementlari va ixtiyoriy 
β
α ,  sonlar uchun 
0
L
y
x
∈
+
β
α
 bo‘lsa 
0
L  chiziqli 
ko‘pxillilik  deyiladi.  Agar 
L
L
⊂
0
  qism  to‘plam  yopiq  chiziqli  ko‘pxillilik  bo‘lsa, 
0
L  qism to‘plam  L  ning qism fazosi deyiladi.