O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

 
6.3-ta'rif.  Additiv  va  bir  jinsli  funksional  chiziqli  funksional  deyiladi. 
Additiv  va  qo‘shma  bir  jinsli  funksional  qo‘shma  chiziqli  (yoki  antichiziqli) 
funksional deyiladi. 
 
Chiziqli funksionallarga misollar keltiramiz. 
 
6.1. 
(
)
{
}
R
x
x
x
x
R
i
n
n
∈
=
≡
,
...,
,
1
  --  n -o‘lchamli  vektor  fazo  va 
(
)
n
n
R
a
a
a
a
∈
=
,
,
,
2
1
K
 belgilangan element bo‘lsin. U holda  
R
R
f
n
→
:
, 
( )
∑
=
=
n
i
i
i
x
a
x
f
1
 
moslik 
n
R  da chiziqli funksional bo‘ladi. 
( )
∑
=
=
n
k
k
k
z
a
z
u
1
 
tenglik  bilan  aniqlanuvchi 
C
C
u
n
→
:
  akslantirish  qo‘shma  chiziqli  funksionalni 
aniqlaydi. 
 
6.2.  
∫
=
b
a
dt
t
x
x
I
)
(
)
(
,   
∫
=
b
a
dt
t
x
x
I
)
(
)
(
*
 
integrallar 
[ ]
b
a
C ,
  fazoda  mos  ravishda  chiziqli  va  qo‘shma  chiziqli 
funksionallarga misol bo‘ladi. 
 
6.3. 
[ ]
b
a
C
y
,
0
∈
 berilgan element bo‘lsin. Har bir 
[ ]
b
a
C
x
,
∈
 funksiyaga 
∫
=
b
a
dt
t
y
t
x
x
F
)
(
)
(
)
(
0
 
sonni  mos  qo‘yamiz.  Bu  funksionalning  chiziqliligi  integrallash  amalining  asosiy 
xossalaridan kelib chiqadi. 

 
85 
dt
t
y
t
x
x
F
b
a
)
(
)
(
)
(
*
0
∫
=
 
funksional 
[ ]
b
a
C ,
 fazoda qo‘shma chiziqli funksional bo‘ladi. 
 
6.4. 
2
l
 fazoda chiziqli funksionalga misol keltiramiz. 
k
- belgilangan natural 
son bo‘lsin. 
2
l
 dagi har bir 
)
,
,
,
,
(
2
1
K
K
k
x
x
x
x
=
 uchun 
k
k
x
x
f
=
)
(
 
deymiz. Bu funksionalning chiziqliligi ko‘rinib turibdi.  
 
6.1. Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosi 
 
Bizga    L   chiziqli  fazoda  aniqlangan,  nolmas  f   chiziqli  funksional  berilgan 
bo‘lsin.  Bu  f   funksional  uchun 
0
=
)
(x
f
  shartni  qanoatlantiruvchi  barcha 
L
x
∈
 
nuqtalar  to‘plami  uning  yadrosi  deyiladi  va 
}
)
(
{
0
=
∈
=
x
f
:
L
x
f
Ker
  ko‘rinishda 
belgilanadi. 
f
Ker
  to‘plam  L   ning  qism  fazosi  bo‘ladi.  Haqiqatan  ham,  agar 
f
Ker
y
,
x
∈
 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 
b
a,  sonlar uchun 
(
)
( )
( )
0
=
+
=
+
y
f
b
x
f
a
y
b
x
a
f
 
tenglik o‘rinli. 
f
Ker
 qism fazoning koo‘lchami birga teng. Haqiqatan ham, 
f
Ker
 ga qarashli 
bo‘lmagan,  ya'ni 
0
)
(
0
≠
x
f
  bo‘ladigan  qandaydir 
0
x   elementni    olamiz.  Bunday 
element  mavjud,  chunki 
0
)
(
≠
x
f
  (aynan  nolga  teng  emas).  Umumiylikni 
chegaralamasdan  hisoblashimiz  mumkinki, 
1
)
(
0
=
x
f
  (aks  holda  biz 
)
(
/
0
0
x
f
x
 
ni  olgan  bo‘lar  edik,  chunki 
1
))
(
/
(
0
0
=
x
f
x
f
).  Ixtiyoriy  x   element  uchun 
( )
x
f
x
x
y
⋅
−
=
0
 desak, u holda 
( )
(
)
0
0
=
⋅
−
=
x
f
x
x
f
y
f
)
(
, 
ya'ni 
f
Ker
y
∈
.  Qaralayotgan  x   element 
,
y
x
x
+
=
0
α
 
f
Ker
y
∈
  ko‘rinishda 
tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir. Haqiqatan ham, 
,
y
x
x
+
=
0
α
 
f
Ker
y
∈
   va   
f
Ker
y
,
y
x
x
∈
′
′
+
′
=
0
α
  
bo‘lsin. U holda 
y
y
x
a
a
−
′
=
′
−
0
)
(
 
tenglik o‘rinli. Agar 
a
a
′
=
 bo‘lsa, 
y
y
′
=
 ekanligi ko‘rinib turibdi. Agar 
0
≠
′
−
a
a
 
bo‘lsa, u holda 
f
Ker
a
a
y
y
x
∈
′
−
−
′
=
0
 
ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu  esa 
f
Ker
x
∉
0
  shartga  zid.  Bu  qarama-qarshilik 
tasdiqni isbotlaydi. 

 
86 
 
Bu  yerdan  kelib  chiqadiki,  ikkita 
1
x
  va 
2
x
  elementlar 
f
Ker
  qism  fazo 
bo‘yicha  bitta  qo‘shni  sinfda  yotishi  uchun 
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
=
  shartning  bajarilishi 
yetarli va zarur. Haqiqatan ham, 
( )
( )
f
Ker
y
,
y
x
x
f
x
,
f
Ker
y
,
y
x
x
f
x
∈
+
=
∈
+
=
2
2
0
2
2
1
1
0
1
1
 
tenglikdan 
( ) ( )
(
)
(
)
2
1
0
2
1
2
1
y
y
x
x
f
x
f
x
x
−
+
−
=
−
 
tenglik kelib chiqadi. Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, 
f
Ker
x
x
∈
−
2
1
 bo‘lishi uchun 
( ) ( )
0
2
1
=
−
x
f
x
f
 bo‘lishi yetarli va zarur. 
 
f
Ker
 qism  fazo bo‘yicha  har qanday 
ξ  sinf o‘zining ixtiyoriy vakili bilan 
bir  qiymatli  aniqlanadi.  Bunday  vakil  sifatida  a 
0
x
  ko‘rinishdagi  elementni  olish 
mumkin.  Bu  yerdan  ko‘rinadiki, 
f
Ker
/
L
  qism  fazoning  o‘lchami  birga  teng 
ekan, ya'ni 
f
Ker
 ning koo‘lchami birga teng. 
 
Chiziqli  funksionalning  yadrosi 
f
Ker
  o‘zida  nolga  aylanadigan 
funksionalni o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida bir qiymatli aniqlaydi. 
 
Haqiqatan  ham,  f   va 
g
  funksionallar  yadrolari  teng  bo‘lsin,  ya'ni 
g
Ker
f
Ker
=
.  U  holda  f   uchun 
L
x
∈
0
  elementni  shunday  tanlaymizki, 
1
)
(
0
=
x
f
 bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, 
0
)
(
0
≠
x
g
. Ixtiyoriy 
L
x
∈
 uchun 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
x
g
x
f
y
g
x
g
x
f
x
g
f
Ker
y
,
y
x
x
f
x
=
+
=
∈
+
=
va
 
tengliklarga 
egamiz. 
Agar 
0
)
(
0
=
x
g
 
bo‘lsa, 
0
)
(
≡
x
g
 
bo‘lar 
edi. 
)
(
)
(
)
(
0
x
f
x
g
x
g
=
  tenglikdan  f   va 
g
  funksionallarning  proporsional    ekanligi 
kelib chiqadi. 
 
Koo‘lchami  birga  teng  bo‘lgan  ixtiyoriy 
L
′
  qism  fazo  berilgan  bo‘lsin.  U 
holda shunday  f  chiziqli  funksional  mavjudki, 
L
f
Ker
′
=
 bo‘ladi.  Buning  uchun 
L
′
  qism  fazoda  yotmaydigan  ixtiyoriy 
L
x
∈
0
  elementni  olamiz  va  ixtiyoriy 
L
x
∈
  elementni 
L
y
y
x
a
x
′
∈
+
=
,
0
  ko‘rinishda  yozamiz.  Bunday  yoyilma 
yagona. 
a
x
f
=
)
(
 tenglik  yordamida aniqlanuvchi chiziqli  funksionalning  yadrosi 
L
f
Ker
′
=
 bo‘ladi. 
 
L
  chiziqli  fazoda  koo‘lchami  birga  teng  bo‘lgan  qandaydir 
L
′
  qism  fazo 
berilgan bo‘lsin. U  holda 
L
 fazoning 
L
′
 qism  fazo  bo‘yicha  har qanday qo‘shni 
sinfi 
L
′
  qism  fazoga  parallel  bo‘lgan  gipertekislik  deyiladi  (xususan, 
L
′
  qism 
fazoning  o‘zi 
θ
  elementni  saqlovchi,  ya'ni  "koordinata  boshidan  o‘tuvchi" 
gipertekislik  hisoblanadi).  Boshqacha  aytganda, 
L
′
  qism  fazoga  parallel  bo‘lgan 
M
′
  gipertekislik  -  bu 
L
′
  qism  fazoni  qandaydir 
L
x
∈
0
  vektorga  parallel 
ko‘chirishdan paydo bo‘ladigan to‘plam, ya'ni 
{
}
L
x
x
x
y
y
x
L
M
′
∈
+
=
=
+
′
=
′
,
:
0
0
. 
 
Ko‘rinib  turibdiki,  agar 
L
x
′
∈
0
  bo‘lsa, 
L
M
′
=
′
  bo‘ladi,  agarda 
L
x
′
∉
0
 
bo‘lsa, u holda 
L
M
′
≠
′
. 

 
87 
 
Agar  f   - 
L
  chiziqli  fazoda  aniqlangan  chiziqli  funksional  bo‘lsa, 
}
1
)
(
:
{
=
∈
=
x
f
L
x
M
f
  to‘plam 
f
Ker
  qism  fazoga  parallel  gipertekislik 
bo‘ladi.  Haqiqatan  ham, 
1
)
(
0
=
x
f
  bo‘ladigan 
0
x
  elementni  tanlab,  ixtiyoriy 
elementni 
f
Ker
y
,
y
x
x
∈
+
=
0
α
 ko‘rinishda yozishimiz mumkin. 
 
Ikkinchi  tomondan,  agar 
M
′
  -  koo‘lchami  birga  teng  bo‘lgan 
L
′
  qism 
fazoga  parallel  va  koordinata  boshidan  o‘tmaydigan  gipertekislik  bo‘lsa,  u  holda 
shunday yagona  f  chiziqli funksional mavjudki, 
}
1
)
(
:
{
=
=
′
x
f
x
M
 
bo‘ladi. Haqiqatan ham, 
L
x
x
L
M
∈
+
′
=
′
0
0
,
 bo‘lsin. U holda har qanday 
L
x
∈
 
element yagona ravishda 
L
y
y
x
a
x
′
∈
+
=
,
0
 ko‘rinishda tasvirlanadi. 
a
x
f
=
)
(
 
tenglik  yordamida  aniqlanadigan  chiziqli  funksional  izlanayotgan  funksional 
bo‘ladi. Uning yagonaligi quyidagidan kelib chiqadi: 
 
Agar 
M
x
′
∈
 da 
1
)
(
=
x
g
 bo‘lsa, u holda 
L
y
′
∈
 da 
0
=
)
( y
g
 bo‘ladi. Bundan 
)
(
)
(
0
0
y
x
a
f
a
y
x
a
g
+
=
=
+
 
tenglik kelib chiqadi. 
 
Shunday  qilib, 
L
  chiziqli  fazoda  aniqlangan  noldan  farqli  barcha  chiziqli 
funksionallar  bilan  koordinata  boshidan  o‘tmaydigan 
L
  dagi  barcha 
gipertekisliklar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatildi.  
 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
Chiziqli funksionalning geometrik ma'nosini tushuntiring.  
2. 
]
,
[
b
a
C
 fazoda gipertekislikka misol keltiring.  
3. 
]
,
[
b
a
C
  fazoda 
)
(
)
(
b
x
x
f
=
  chiziqli  funksionalni  qaraymiz.   
]
,
[
b
a
C
  fazoda 
}
1
)
(
:
]
,
[
{
=
∈
=
x
f
b
a
C
f
M
 to‘plam gipertekislik bo‘ladimi?  
4. 
)
(
)
(
,
]
,
[
:
a
x
x
f
R
b
a
V
f
=
→
  chiziqli  funksionalning  yadrosini  toping. 
]
[ b
,
a
V
f
Ker
0
=
 tenglik to‘g‘rimi?  
5. 
R
C
f
→
−
]
1
,
1
[
:
 va 
( )
( )
∫
−
=
1
1
dt
t
x
x
f
 
      funksionalning 
chiziqli 
ekanligini 
ko‘rsating. 
}
)
(
)
(
:
]
1
,
1
[
{
]
1
,
1
[
t
x
t
x
C
x
C
−
=
−
−
∈
=
−
−
  toq  funksiyalar  to‘plami  uchun 
f
Ker
,
C
⊂
−
−
]
[
1
1
 munosabat to‘g‘rimi?  
6. 
( )
1
3
,
:
x
x
f
R
R
f
=
→
  chiziqli  funksionalning  yadrosini  toping.  Bu  fazoda 
}
1
)
(
:
{
3
=
∈
x
f
R
x
  gipertekislikni chizmada tasvirlang.  
 
 
 

 
88 
7. Qavariq to‘plamlar va qavariq funksionallar 
 
L
 - haqiqiy chiziqli fazo,  x  va 
y
 uning ikki nuqtasi bo‘lsin. U holda 
[ ]
1
,
1
,
0
,
,
=
+
∈
+
β
α
β
α
β
α
y
x
 
shartni  qanoatlantiruvchi  barcha  elementlar  to‘plami  x   va 
y
  nuqtalarni 
tutashtiruvchi kesma deyiladi va u 
]
,
[
y
x
  bilan belgilanadi, ya'ni 
[ ]
[ ]
{
}
1
,
1
,
0
,
:
,
=
+
∈
+
=
β
α
β
α
β
α
y
x
y
x
. 
 
7.1-ta'rif.  Agar 
L
M
⊂
  to‘plam  o‘zining  ixtiyoriy 
M
y
x
∈
,
  nuqtalarini 
tutashtiruvchi 
]
,
[
y
x
 kesmani ham o‘zida saqlasa,  M  ga qavariq to‘plam deyiladi. 
 
7.2-ta'rif.  Agar  biror 
E
x
∈
  nuqta  va  ixtiyoriy 
L
y
∈
  uchun  shunday 
0
)
(
>
=
y
ε
ε
  son  mavjud  bo‘lib,  barcha 
ε
<
|
|
, t
t
  larda 
E
ty
x
∈
+
  munosabat 
bajarilsa, 
E
x
∈
  nuqta 
L
E
⊂
  to‘plamning  yadrosiga  qarashli  deyiladi. 
L
E
⊂
 
to‘plamning yadrosi - 
)
(E
J
 bilan belgilanadi, ya'ni 
( )
{
}
E
ty
x
t
R
t
y
L
y
E
x
E
J
∈
+
<
∈
∀
>
=
∃
∈
∀
∈
=
,
,
,
0
)
(
,
:
ε
ε
ε
. 
 
7.3-ta'rif. Yadrosi bo‘sh bo‘lmagan qavariq to‘plam qavariq jism deyiladi. 
 
Misollar. 7.1. 
3
R
 fazoda kub, shar, tetrayedr, tekislikda to‘g‘ri to‘rtburchak, 
doira, uchburchak qavariq jism bo‘ladi. 
2
l
 fazodagi 






≤
∈
=
∑
∞
=
1
2
2
1
|
|
:
]
1
,
0
[
n
n
x
x
B
l
 
birlik shar qavariq jism bo‘ladi. 
 
7.2. 
2
R  da to‘g‘ri chiziq (kesma) qavariq to‘plam bo‘ladi, lekin qavariq jism 
bo‘lmaydi. Chunki, uning yadrosi bo‘sh to‘plam (mustaqil isbotlang). 
 
Agar  M  qavariq to‘plam bo‘lsa, u  holda  uning  yadrosi 
)
(M
J
 ham qavariq 
to‘plamdir. Haqiqatan ham, 
( )
M
J
y
,
x
∈
   va   
1
0
=
+
≥
+
=
β
α
β
α
β
α
,
,
,
y
x
z
 
bo‘lsin.  U  holda  ixtiyoriy 
L
a
∈
  uchun  shunday 
0
,
0
2
1
>
>
ε
ε
  sonlar  mavjudki, 
2
2
1
1
,
ε
ε
<
<
t
t
  shartni  qanoatlantiruvchi  barcha 
2
1
, t
t
  larda 
a
t
x
1
+
  va 
a
t
y
2
+
 elementlar  M  to‘plamda yotadi. Bundan kelib chiqadiki, barcha 
ε
<
|
| t
, 
(
)
2
1
,
min
ε
ε
ε
=
 larda 
(
) (
)
( )
M
J
z
,
M
a
t
z
a
t
a
t
y
x
a
t
y
a
t
x
∈
∈
+
=
+
+
+
=
+
+
+
ni
ya'
β
α
β
α
β
α
.