O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

4.1. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbiqlari 
Qisuvchi  akslantirishlar  prinsipini  har  xil  turdagi  tenglamalar  yechimlari 
mavjudligi  va  yagonaligi  haqidagi  teoremalarni  isbotlashda  qo‘llash  mumkin. 
Qisuvchi  akslantirishlar  prinsipi 
x
Ax
=
  tenglama  yechimi  mavjudligi  va 
yagonaligini  isbotlash  uchungina  qo‘llanib  qolmay,  bu  tenglama  yechimini  topish 
usulini ham beradi. 
Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbig‘iga doir misollar qaraymiz. 
4.1. 
n
R  fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va 
( )
n
,
,
,
i
,
b
x
a
Ax
i
n
j
j
ij
i
K
2
1
1
=
+
=
∑
=
 
formulalar orqali aniqlangan  A  akslantirishning qisuvchilik shartlarini toping. 
Yechish.  Qanday  shartlarda  A   qisuvchi  akslantirish  bo‘ladi?  Bu  savolga 
javob  fazoda  qanday  metrika  berilishiga  bog‘liq.  Biz  quyida  uch  xil  variantni 
qaraymiz:  
a) 
n
R
∞
 fazo, ya’ni 
i
i
n
i
y
x
)
y
,
x
(
−
=
≤
≤
1
max
ρ
 
bo‘lsin. 
(
)
∑
∑
=
≤
≤
=
≤
≤
≤
≤
≤
′′
−
′
≤
′′
−
′
=
′′
−
′
=
n
j
j
j
ij
n
i
n
j
j
j
ij
n
i
i
i
n
i
x
x
a
x
x
a
y
y
y
y
1
1
1
1
1
max
max
max
)
"
,
'
(
ρ
 
(
)
.
,
max
max
max
1
1
1
1
1
∑
∑
=
=
≤
≤
≤
≤
≤
≤
′′
′






=
′′
−
′
⋅
≤
n
j
n
j
ij
n
i
j
j
n
j
ij
n
i
x
x
a
x
x
a
ρ
 
Bu yerdan kelib chiqadiki,  A  qisuvchi akslantirish bo‘lishi uchun 
1
max
1
1
<
=
∑
=
≤
≤
α
n
j
ij
n
i
a
  
 
 
 
(4.2) 
shartning  bajarilishi  yetarli.  Shuning  uchun 
n
R
∞
  fazoda  (4.2)  shartni  A  
akslantirishning qisuvchilik sharti sifatida qabul qilamiz. 

 
 
54 
b) 
n
R
1
  fazo, ya’ni  
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
1
)
,
(
ρ
 
bo‘lsin. U holda 
(
)
∑∑
∑ ∑
∑
=
=
=
=
=
=
′′
−
′
≤
′′
−
′
=
′′
−
′
=
′′
′
n
i
n
j
j
j
ij
n
i
n
j
j
j
ij
n
i
i
i
x
x
a
x
x
a
y
y
y
y
1
1
1
1
1
)
,
(
ρ
 
(
)
(
)
.
,
max
max
1
1
1
1
1
1
1
x
x
a
x
x
a
a
x
x
a
n
i
ij
n
j
n
j
n
j
j
j
ij
n
i
ij
n
j
j
j
n
i
ij
′′
′
⋅






≤
′′
−
′
⋅






≤
′′
−
′
⋅






=
∑
∑
∑
∑
∑
=
≤
≤
=
=
=
≤
≤
=
ρ
 
Bu yerdan ko‘rinadiki,  A  akslantirish uchun qisuvchilik sharti 
n
R
1
 fazoda 
1
max
1
1
<
=
∑
=
≤
≤
α
n
i
ij
n
j
a
  
 
 
 
 (4.3) 
ko‘rinishga ega.  
c) 
n
R  fazo, ya’ni  
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
y
x
y
x
1
2
)
,
(
ρ
 
bo‘lsin. U holda 
(
)
(
)
(
)
(
)
.
,
)
,
(
2
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
x
x
a
x
x
a
x
x
a
y
y
y
y
n
i
n
j
n
j
n
i
ij
j
j
n
j
ij
n
i
n
j
j
j
ij
n
i
i
i
′′
′
⋅






≤
′′
−
′
⋅






≤
≤






′′
−
′
=
′′
−
′
=
′′
′
∑
∑
∑∑
∑
∑ ∑
∑
=
=
= =
=
=
=
=
ρ
ρ
 
Yuqorida keltirilgan tenglik va tengsizliklarga ko‘ra 
n
R  fazoda  A  akslantirishning 
qisuvchilik sharti 
1
1
1
2
<
≤
∑ ∑
=
=
α
n
j
n
i
ij
a
   
 
 
 (4.4) 
ko‘rinishga ega. 
Shunday qilib, agar (4.2)-(4.4) shartlardan birortasi bajarilsa, u holda yagona 
(
)
n
x
x
x
x
,
,
,
2
1
K
=
 nuqta mavjud bo‘lib, 
n
,
,
,
i
,
b
x
a
x
i
n
j
j
ij
i
K
2
1
1
=
+
=
∑
=
 
bo‘ladi.  Bundan  tashqari  bu  nuqtada  ketma-ket  yaqinlashishlar  quyidagi 
ko‘rinishga ega 
( )
(
)
...
,
,
k
,
x
,
,
x
,
x
x
,
b
x
a
x
)
k
(
n
)
k
(
)
k
(
k
i
n
j
)
k
(
j
ij
)
k
(
i
3
2
1
2
1
1
1
=
=
+
=
∑
=
−
K
. 
Bu  yerda 
( )
(
)
)
(
n
)
(
)
(
x
,...,
x
,
x
x
0
0
2
0
1
0
=
  sifatida 
n
R   dagi  ixtiyoriy  nuqtani  qabul  qilish 
mumkin. 
Qaralayotgan 
Ax
y
=
  akslantirish  qisuvchi  bo‘lishi  uchun  (4.2)-(4.4) 
shartlarning ixtiyoriy birining bajarilishi yetarli. Isbotlash mumkinki, (4.2) va (4.3) 

 
 
55 
shartlar  mos  ravishda 
n
R
∞
  va 
n
R
1
  fazolarda 
Ax
y
=
  akslantirish  qisuvchi  bo‘lishi 
uchun zarur ham bo‘ladi. 
Ta’kidlash  lozimki,  (4.2)  -  (4.4)  shartlarning  birortasi  ham  ketma-ket 
yaqinlashishlar usulining tadbig‘i uchun zarur emas. 
Agar 
1
−
<
n
a
ij
  bo‘lsa,  u  holda  (4.2)  -  (4.4)  shartlarning  hammasi  bajariladi 
va ketma-ket yaqinlashishlar usulini qo‘llash mumkin. 
Agar 
1
−
≥
n
a
ij
  bo‘lsa,  u  holda  (4.2)  -  (4.4)  shartlarning  birortasi  ham 
bajarilmaydi.  
 
4.2. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining integral tenglamalarga tadbiqi 
     
 
Fredholm tenglamasi. Qisuvchi akslantirishlar prinsipini ushbu 
)
(
)
(
)
,
(
)
(
x
dy
y
f
y
x
K
x
f
b
a
ϕ
λ
+
=
∫
  
 
 
(4.5) 
ikkinchi tur Fredholm integral tenglamasi yechimining mavjudligi va yagonaligini 
isbotlash uchun qo‘llaymiz. Bu yerda  K  integral tenglama yadrosi va 
ϕ  - berilgan 
funksiyalar,  f  - izlanayotgan (noma’lum) funksiya, 
λ
 esa - haqiqiy parametr. 
Ko‘rsatamizki, qisuvchi akslantirishlar prinsipini 
λ
 parametrning yetarlicha 
kichik qiymatlarida qo‘llash mumkin. 
Faraz  qilamiz, 
)
,
(
y
x
K
  - 
]
,
[
]
,
[
b
a
b
a
×
  kvadratda, 
)
(x
ϕ
  - 
]
,
[ b
a
  kesmada 
uzluksiz funksiyalar bo‘lsin. Shunday ekan, musbat  M  son mavjud bo‘lib, barcha 
]
,
[
,
b
a
y
x
∈
 uchun 
M
)
y
,
x
(
K
≤
 tengsizlik bajariladi. To‘la 
]
,
[ b
a
C
 fazoni o‘zini-
o‘ziga  
∫
+
=
b
a
x
dy
y
f
y
x
K
x
g
)
(
)
(
)
,
(
)
(
ϕ
λ
 
 
 
 (4.6) 
formula vositasida akslantiruvchi 
Af
g
=
 akslantirish berilgan bo‘lsin. U holda  
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
x
f
x
f
a
b
M
x
g
x
g
g
g
b
x
a
b
x
a
2
1
2
1
2
1
max
max
,
−
⋅
−
≤
−
=
≤
≤
≤
≤
λ
ρ
 
yoki 
(
)
(
) (
)
2
1
2
1
f
,
f
a
b
M
Af
,
Af
ρ
λ
ρ
⋅
−
≤
. 
Shunday ekan,  
(
)
a
b
M
−
⋅
<
1
λ
 
 
 
 
 
 (4.7) 
bo‘lganda  A   qisuvchi  akslantirish  bo‘ladi.  Qisuvchi  akslantirishlar  prinsipiga 
asoslanib  xulosa  qilamizki,  (4.7)  shartni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy 
λ
  da  (4.5) 
Fredholm tenglamasi yagona uzluksiz yechimga ega. 
Bu yechimga intiluvchi ketma-ket yaqinlashishlar 
...
,
...,
,
,
1
0
n
f
f
f
  
∫
+
=
−
b
a
n
n
x
dy
y
f
y
x
K
x
f
)
(
)
(
)
,
(
)
(
1
ϕ
λ
 
ko‘rinishga ega, bu yerda 
0
f  sifatida ixtiyoriy uzluksiz funksiyani olish mumkin. 

 
 
56 
Chiziqlimas integral tenglamalar. Qisuvchi akslantirishlar prinsipining 
∫
+
=
b
a
x
dy
y
f
y
x
K
x
f
)
(
))
(
;
,
(
)
(
ϕ
λ
 
ko‘rinishdagi  chiziqlimas  integral  tenglamalarga  tadbiqini  qaraymiz.  Bu  yerda  K  
va 
ϕ   funksiyalar  uzluksiz  bo‘lib,  bundan  tashqari  K   o‘zining  3-  chi  funksional 
argumenti  bo‘yicha  Lipshits  shartini  qanoatlantirsin,  ya’ni  shunday 
0
>
L
  mavjud 
bo‘lib, 
2
1
2
1
)
;
,
(
)
;
,
(
z
z
L
z
y
x
K
z
y
x
K
−
≤
−
 
tengsizlik  barcha 
]
,
[
,
b
a
y
x
∈
  va 
2
1
, z
z
  lar  uchun  o‘rinli  bo‘lsin.  Bu  holda 
]
,
[ b
a
C
 
fazoni o‘zini-o‘ziga  
∫
+
=
b
a
x
dy
y
f
y
x
K
x
g
)
(
))
(
;
,
(
)
(
ϕ
λ
 
formula vositasida akslantiriuvchi 
Af
g
=
 akslantirish uchun  
( )
( )
(
)
( ) ( )
x
f
x
f
a
b
L
x
g
x
g
b
x
a
b
x
a
2
1
2
1
max
max
−
⋅
−
≤
−
≤
≤
≤
≤
λ
 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda  
2
2
1
1
,
Af
g
Af
g
=
=
. Shunday ekan, 
(
)
a
b
L
−
⋅
<
1
λ
 
shartda  A  akslantirish qisuvchi bo‘ladi. 
Volterra tenglamasi. Endi Volterra tipidagi  
  
 
 
 
∫
+
=
x
a
x
dy
y
f
y
x
K
x
f
)
(
)
(
)
,
(
)
(
ϕ
λ
  
 
 
(4.8) 
tenglamani qaraymiz.  Agar 
x
y
>
 da 
0
)
,
(
=
y
x
K
 desak, (4.8) Volterra tenglamasi 
(4.5) ko‘rinishdagi ikkinchi tur Fredholm tenglamasiga keladi. 
Biroq  Fredholm  integral  tenglamasi    holida  biz 
λ
  parametrning  kichik 
qiymatlari  bilan  chegaralanishga  majburmiz.  Volterra  tenglamasi  holida  qisuvchi 
akslantirishlar  prinsipi  (va  ketma-ket  yaqinlashishlar  usuli)  ni 
λ
  ning  barcha 
qiymatlarida  qo‘llash  mumkin.  Aniqrog‘i,  qisuvchi  akslantirishlar  prinsipining 
quyidagi umumlashmasi o‘rinli. 
4.2-teorema.  X   metrik  fazoni  o‘zini-o‘ziga  akslantiruvchi  A   uzluksiz 
akslantirish  uchun  biror  n   da 
n
A
B
=
  -  qisuvchi  akslantirish  bo‘lsin.  U  holda 
x
Ax
=
 tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. 
Isbot. 
X
x
∈
  nuqta  B   akslantirishning  qo‘zg‘almas  nuqtasi  bo‘lsin,  ya’ni 
x
Bx
=
.  U  holda  B   qisuvchi  akslantirishga  ketma-ket  yaqinlashishlar  usulini 
qo‘llasak,  
∞
→
→
=
=
=
=
=
=
=
+
k
x
x
B
Ax
B
Ax
A
x
A
x
AA
x
AB
ABx
Ax
k
k
nk
nk
nk
k
,
0
1
. 
Chunki  ixtiyoriy 
X
x
∈
0
,  xususiy  holda 
Ax
x
=
0
  uchun, 
K
K
,
,
,
,
0
0
2
0
x
B
x
B
Bx
k
 
ketma-ketlik  x   qo‘zg‘almas  nuqtaga  yaqinlashadi.  Shunday  ekan, 
x
Ax
=
.  Bu  x  
nuqta  yagona,  chunki  A   uchun  qo‘zg‘almas  bo‘lgan  x   nuqta 
n
A
B
=
  uchun  ham 
qo‘zg‘almas nuqtadir,  B  esa yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega.    ∆ 
4.2. 
]
,
[ b
a
C
 fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va 

 
 
57 
∫
+
=
x
a
x
dy
y
f
y
x
K
x
Af
)
(
)
(
)
,
(
)
)(
(
ϕ
λ
    
 (4.9) 
formula  bilan  aniqlangan  A   akslantirishning  biror  darajasi  qisuvchi  ekanligini 
ko‘rsating. 
Yechish. 
]
,
[ b
a
 kesmada uzluksiz bo‘lgan 
1
f  va 
2
f  funksiyalarni olamiz. U 
holda 
( )
( )
(
)
.
)
(
)
(
max
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
a
x
M
dy
y
f
y
f
y
x
K
x
Af
x
Af
b
x
a
x
a
−
⋅
−
⋅
≤
≤
−
⋅
=
−
≤
≤
∫
λ
λ
 
Bu yerda  
( )
.
,
max
,
y
x
K
M
b
y
x
a
≤
≤
=
 
Olingan tengsizlikdan kelib chiqadiki, 
( )
( )
.
)
(
)
(
max
2
)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
2
2
2
1
2
x
f
x
f
a
x
M
x
f
A
x
f
A
b
x
a
−
⋅
−
⋅
⋅
=
−
≤
≤
λ
 
Umuman, 
( )
( )
(
)
.
,
!
)
(
)
(
)
(
max
!
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
f
f
n
a
x
M
x
f
x
f
n
a
x
M
x
f
A
x
f
A
n
n
n
b
x
a
n
n
n
n
n
ρ
λ
λ
⋅
−
⋅
⋅
=
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
−
≤
≤
 
Ixtiyoriy 
λ
 uchun  n  nomerni shunday tanlash mumkinki, 
1
<
−
⋅
⋅
!
n
)
a
b
(
M
n
n
n
λ
 
tengsizlik bajariladi. U holda 
n
A
B
=
 akslantirish qisuvchi bo‘ladi. ∆ 
Shuning  uchun,  yuqoridagi  tasdiqqa  asosan  (4.8)  Volterra  tenglamasi  har 
qanday 
λ
 da yagona yechimga ega.