O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

2.18. Bo‘sh to‘plam va  X  fazo yopiq to‘plamlardir. Ular biri-ikkinchisining 
to‘ldiruvchisi  bo‘lgani  uchun  2.4-teoremaga  ko‘ra 
∅
  va  X   lar  ochiq  to‘plamlar 
ham bo‘ladi. 
Ikkilik  prinsiplari  hamda  2.3  va  2.4-teoremalar  natijasi  sifatida  quyidagi 
teoremani keltiramiz. 
2.5-teorema. Ixtiyoriy sondagi ochiq to‘plamlar yig‘indisi va chekli sondagi 
ochiq to‘plamlar kesishmasi  yana ochiq to‘plamdir. 
 
2.4. Sonlar o‘qidagi ochiq va yopiq to‘plamlar 
 
Ixtiyoriy  metrik  fazoda,  hattoki  Evklid  fazosida  ham,  ochiq  va  yopiq 
to‘plamlar  strukturasi,  umuman  olganda,  juda  murakkab.  Ammo,  bir  o‘lchamli 
Evklid fazosida, ya’ni sonlar o‘qida barcha ochiq to‘plamlarni (shu jumladan yopiq 
to‘plamlarni),  tavsiflash  qiyin  emas.  Sonlar  o‘qidagi  ochiq    to‘plamlar  tavsifi 
quyidagi teorema orqali ifodalanadi. 
2.6-teorema.  Sonlar  o‘qidagi  ixtiyoriy  ochiq  to‘plam  chekli  yoki  sanoqli 
sondagi o‘zaro kesishmaydigan intervallar yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlanadi. 
Isbot. Sonlar o‘qidagi 
G
 ochiq to‘plamni qaraymiz. 
G
 to‘plam elementlari 
orasida  ekvivalentlik  munosabatlarini  kiritamiz.  Agar 
G
y
x
∈
,
  nuqtalar  uchun 
shunday 
(
)
β
α,   interval  mavjud  bo‘lib, 
(
)
G
y
x
⊂
∈
β
α,
,
  bo‘lsa, 
y
x ~
deymiz. 
Ravshanki,  bu  munosabat  refleksiv  va  simmetrikdir.  Bundan  tashqari 
y
x ~
va 
z
y ~
  bo‘lgani  uchun  shunday 
(
)
β
α,   va 
( )
δ
γ ,   intervallar  mavjud  bo‘lib 
(
)
G
y
x
⊂
∈
β
α,
,
  va 
( )
G
z
y
⊂
∈
δ
γ ,
,
  bo‘ladi.  Bundan 
β
γ
<
  (
δ
α
<
)  bo‘lishi  va  
( )
G
⊂
δ
α,
  (
G
⊂
)
,
(
β
γ
)  ekanligi  kelib  chiqadi,  ya’ni 
( )
G
z
x
⊂
∈
δ
α,
,
.  Shunday 
ekan, 
z
x ~   ekanligi,  ya’ni  kiritilgan  munosabatning  tranzitivligi  kelib  chiqadi. 
Shuning  uchun, 
G
  o‘zaro  kesishmaydigan 
τ
I   ekvivalent  nuqtalar  sinflariga 
ajraladi,  ya’ni 
U
τ τ
I
G
=
.  Har  bir 
τ
I   ning 
)
,
( b
a
  intervaldan  iborat  ekanligini 
ko‘rsatamiz,  bu  yerda 
τ
I
a
inf
=
, 
τ
I
b
sup
=
.  Agar 
τ
I
a
inf
=
  va 
τ
I
b
sup
=
  desak, 
( )
b
a
I
,
⊂
τ
.  Ikkinchi  tomondan,  agar 
τ
I
y
x
∈
,
  desak, 
τ
I   ning  aniqlanishiga  ko‘ra 
⊂
)
,
(
y
x
τ
I .  a   dan  o‘ng  tomonda  va  a   ga  ixtiyoriy  yaqinlikda, 
b
  dan  chap 
tomonda va 
b
 ga ixtiyoriy yaqinlikda 
τ
I  ning elementlari mavjud. Shuning uchun, 
chetlari 
)
,
( b
a
  ga  tegishli  ixtiyoriy 
)
'
,
'
(
b
a
  interval 
τ
I   da  saqlanadi.  U  holda 
τ
I =
)
,
( b
a
.  Bunday  kesishmaydigan 
τ
I   intervallar  soni  ko‘pi  bilan  sanoqli,  yani 
har  bir 
τ
I   interval  kamida  bitta  ratsional  nuqtani  saqlaydi.  Shuning  uchun 
intervallar soni ratsional nuqtalar sonidan ko‘p emas.  ∆  
Yopiq to‘plamlar ochiq to‘plamlarning to‘ldiruvchi to‘plami bo‘lgani uchun, 
ixtiyoriy yopiq to‘plam sonlar o‘qidan chekli yoki sanoqlita o‘zaro kesishmaydigan 
intervallarni chiqarib tashlashdan hosil bo‘ladi. 
Sonlar  o‘qida  sodda  yopiq  to‘plamlarga  misol  sifatida  kesmalar,  alohida 
nuqtalar  va  chekli  shunday  to‘plamlar  yig‘indisini  qarash  mumkin.  Murakkabroq 
yopiq  to‘plamga  misol  qaraymiz.  Qaralayotgan  bu  yopiq  to‘plam  «Kantor 
to‘plami» nomi bilan taniqli. 

 
 
24 
2.20. 
[ ]
1
,
0
0
=
F
  bo‘lsin.  Undan 






3
2
,
3
1
  intervalni  chiqarib  tashlaymiz,  qolgan 
yopiq to‘plamni 
1
F  bilan belgilaymiz. Keyin 
1
F  dan 






9
2
,
9
1
 va 






9
8
,
9
7
 intervallarni 
chiqarib  tashlaymiz,  qolgan  yopiq  to‘plamni  (to‘rt  kesmadan  iborat) 
2
F   bilan 
belgilaymiz. Bu to‘rtta kesmaning har biridan o‘rtadagi uzunligi 
3
3
−
 teng bo‘lgan 
interval  chiqarib  tashlanadi  (2.1-chizma)  va  hokazo.  Bu  jarayonni  cheksiz  davom 
ettirib, yopiq to‘plamlarning kamayuvchi 
n
F  ketma-ketligini olamiz. Agar  
I
∞
=
=
0
n
n
F
F
  
deb belgilasak, 2.3- teoremaga ko‘ra  F  yopiq to‘plam bo‘ladi. U 
]
1
,
0
[
 kesmadan 
sanoqli sondagi intervallarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo‘ladi. Hosil 
bo‘lgan  F  to‘plam Kantor to‘plami deb ataladi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Endi  F   to‘plamning  strukturasini  o‘rganamiz.  Ravshanki,  F   ga  chiqarib 
tashlangan intervallarning oxirlari bo‘lgan 
,...,
9
8
,
9
7
,
9
2
,
9
1
,
3
2
,
3
1
,
1
,
0
 
 
 
 
 (2.1) 
nuqtalar  tegishli.  Biroq  F   to‘plam  faqat  shu  nuqtalardan  iborat  emas. 
]
1
,
0
[
 
kesmadagi  F   ga  tegishli  bo‘lgan  nuqtalarni  quyidagicha  xarakterlash  mumkin. 
Buning uchun 
]
1
,
0
[
 kesmadagi har bir  x  ni uchlik sistemada yozamiz: 
...
3
...
3
3
3
3
3
2
2
1
+
+
+
+
+
=
n
n
a
a
a
a
x
 
bu  yerda 
n
a   sonlar    0,    1  va  2  raqamlarni  qabul  qilishi  mumkin.  O‘nli  kasrlar 
holidagidek  bu  yerda  ham  ba’zi  sonlarni  ikki  xil  ko‘rinishda  yozish  mumkin. 
Masalan,  
...
3
2
...
3
2
3
0
...
3
0
...
3
0
3
1
3
1
2
2
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
. 
0 
1/3 
2/3 
1 
F
1
 
0 
1/3 
2/3 
1 
F
2
 
1/9 
2/9 
7/9 
8/9 
0 
1 
F
3
 
27
1
 
27
2
 
27
7
 
27
8
 
27
19
 
27
20
 
27
25
 
27
26
 
2.1 – chizma 
9
1
 
9
2
 
3
1
3
2
 
9
7
 
9
8
 

 
 
25 
Endi  F   to‘plamga  tegishli  sonlarning  uchlik  sistemadagi  yoyilmasi  haqida 
fikr  yuritamiz.  Ravshanki, 






3
2
,
3
1
  intervaldagi  sonlarning  uchlik  sistemadagi 
yoyilmasida 
1
a  son albatta 1 ga teng bo‘ladi, 






9
2
,
9
1
 va 






9
8
,
9
7
 intervallarga tegishli 
sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida 
2
a  son albatta 1 ga teng bo‘ladi. Xuddi 
shunga o‘xshash 


















27
20
,
27
19
,
27
8
,
27
7
,
27
2
,
27
1
 va 






27
26
,
27
25
 intervallarga tegishli sonlar 
uchun ularning  uchlik sistemadagi yoyilmalarida 
3
a  son albatta 1 ga teng bo‘ladi 
va  hokazo.  Shunday  qilib  ixtiyoriy 
F
x
\
]
1
,
0
[
∈
  son  uchun  uning  uchlik 
sistemadagi yoyilmasida qatnashuvchi 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
a
a
a
 sonlarning kamida bittasi 1 
ga  teng.  Aytilgan  mulohazalardan  quyidagi  xulosa  kelib  chiqadi:  F   to‘plamga 
kamida  bir  usul  bilan  uchlik  kasr  ko‘rinishida  tasvirlanuvchi  shunday 
]
1
,
0
[
∈
x
 
sonlar  kiradiki,  ularga  mos 
K
K
,
,
,
,
2
1
n
a
a
a
  ketma-ketlikda  1  raqami  biror  marta 
ham  uchramaydi. Shunday qilib, har bir 
F
x
∈
 uchun 
,...
,...,
,
2
1
n
a
a
a
 
 
 
 
 
(2.2) 
ketma-ketlikni mos qo‘yish mumkin, bu yerda a
n
 raqam 0 yoki 2 ga teng. Bunday 
ketma-ketliklar  to‘plami  kontinuum  quvvatli  to‘plamni  tashkil  qiladi.  Bunga 
ishonch hosil qilish uchun har bir (2.2) ketma-ketlikka  
K
K
,
,
,
,
2
1
n
b
b
b
 
 
                     (2.3) 
ketma-ketlikni  shunday  mos  qo‘yamizki,  agar 
0
=
n
a
  bo‘lsa, 
0
=
n
b
  bo‘ladi,  agar 
2
=
n
a
 bo‘lsa, 
1
=
n
b
 bo‘ladi. Har bir (2.3) ketma-ketlikni, [0,1] kesmadagi biror 
y
 
sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday qilib,  F  to‘plamni [0,1] 
ga  biyektiv  akslantirishni  olamiz.  Bu  yerdan  F   ning  kontinuum  quvvatli  to‘plam 
ekanligi  kelib  chiqadi.  (2.1)  ketma-ketlikdagi  sonlar  to‘plami  sanoqli  bo‘lgani 
uchun, ular  F  ni to‘lig‘icha qoplamaydi. 
Biz  ko‘rsatdikki,  F   kontinuum  quvvatga  ega,  ya’ni  [0,1]  kesma  bilan  F  
to‘plam o‘rtasida biyektiv moslik mavjud. 
Bundan  tashqari  Kantor  to‘plami  [0,1]  kesmaning  hech  yerida  zichmas  va 
o‘lchovi  nolga  teng.  Kantor  to‘plami  F   ning  o‘lchovi  nol  ekanligi 
[ ]
(
)
1
1
0
=
F
\
,
µ
 
ekanligidan  kelib  chiqadi.  Barcha  chiqarib  tashlangan  intervallar  uzunliklari 
yig‘indisi 
1
...
3
2
...
27
4
9
2
3
1
1
=
+
+
+
+
+
−
n
n
. 
Demak, 
0
)
(
=
F
µ
.  
 
 
 
 
 
 

 
 
26 
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 
 
1. 
{
}
1
:
2
2
2
1
2
<
+
∈
=
x
x
R
x
M
  to‘plamni  R
2
  metrik  fazoda  ochiq  to‘plam 
bo‘lishini isbotlang.  
2. 
{
}
4
1
:
2
2
2
1
2
≤
+
≤
∈
=
x
x
R
x
N
  to‘plamni  R
2
  metrik  fazoda  yopiq  to‘plam 
bo‘lishini isbotlang.  
3. 
Ratsional  sonlar to‘plami  Q  ning yopig‘ini toping.  
4. 
Q  ni 
(
)
∞
∞
−
=
;
R
 ning hamma yerida zich ekanligini isbotlang. 
5. 
Butun sonlar to‘plami Z ni R ning hech yerida zich emasligini isbotlang. 
6. 
Q  ning barcha yakkalangan nuqtalari to‘plamini toping.  
7. 
Z  ning barcha yakkalangan nuqtalari to‘plamini toping.  
8. 
Q
R \
 ning barcha limitik nuqtalari to‘plamini toping. 
9. 
To‘plam yopig‘ining xossalarini  keltiring.  
10.   Sanoqli 
sondagi 
ochiq 
to‘plamlarning 
kesishmasi 
ochiq 
to‘plam 
bo‘lmasligiga misol keltiring.  
11.   Sanoqli  sondagi  yopiq  to‘plamlarning  birlashmasi  yopiq  to‘plam 
bo‘lmasligiga  misol keltiring. 
12.   Kantor  to‘plami 
]
1
,
0
[
  kesmada  zichmi?  F   to‘plam 
]
1
,
0
[
  kesmadagi  biror 
)
,
( b
a
 intervalda zich bo‘la oladimi?  
13.   Kantor  to‘plamining  Lebeg  ma’nosida  o‘lchovli  ekanligini  ko‘rsating.  Uni 
o‘lchovini toping. 
14.   Kantor to‘plamining barcha yakkalangan nuqtalari to‘plamini toping.  
15.   Kantor to‘plami 
]
1
,
0
[
 kesmaning hech yerida zichmas ekanligini ko‘rsating. 
 

 
 
35 
9-mavzu: To‘la metrik  fazolar 
 
Matematik  analizdan  ma’lumki,  har  qanday  fundamental  sonli  ketma-ketlik 
yaqinlashuvchidir.  Bu  tasdiq  sonlar  o‘qining  to‘laligini  ifodalaydi.  Quyida 
ko‘rsatiladiki,  ixtiyoriy  metrik  fazoda  har  qanday  fundamental    ketma-ketlik 
yaqinlashuvchi bo‘lavermaydi. 
3.1-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
0
>
ε
  uchun  shunday 
ε
N   natural  son  mavjud 
bo‘lib,  barcha 
ε
N
n
>
  va 
ε
N
m
>
  nomerlar  uchun 
(
)
ε
ρ
<
m
n
x
x ,
  tengsizlik 
bajarilsa, u holda 
{ }
n
x
 fundamental ketma-ketlik deyiladi. 
     
Uchburchak 
aksiomasidan 
bevosita 
kelib 
chiqadiki, 
har 
qanday 
yaqinlashuvchi  ketma-ketlik  fundamentaldir.  Haqiqatan  ham,  agar 
{ }
n
x
  ketma-
ketlik  x  ga yaqinlashsa, ixtiyoriy 
0
>
ε
 uchun shunday 
ε
N  son  mavjudki, barcha 
ε
N
n
>
 nomerlarda 
(
)
2
/
,
ε
ρ
<
x
x
n
 tengsizlik bajariladi. U holda ixtiyoriy  
ε
N
n
>
 
va 
ε
N
m
>
 nomerlar uchun  
(
) (
) (
)
ε
ε
ε
ρ
ρ
ρ
<
+
<
+
≤
2
2
,
,
,
m
n
m
n
x
x
x
x
x
x
 
Demak, 
{ }
n
x
 fundamental ketma-ketlik ekan. 
     
3.2-ta’rif.  Agar  X   metrik  fazoda  ixtiyoriy  fundamental  ketma-ketlik 
yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda  X  to‘la metrik fazo deyiladi. 
     
Misollar.  3.1.  Yakkalangan  nuqtalar  fazosida  faqatgina  statsionar  (ya’ni 
biror nomerdan boshlab hamma nomerlarda birgina nuqta takrorlanadigan) ketma-
ketliklar fundamental va shuning uchun yaqinlashadi, ya’ni bu fazo - to‘la. 
     
3.2. 
(
)
∞
∞
−
=
;
R
  fazoning to‘laligi matematik analiz kursidan ma’lum. 
     
3.3. 
n
R   fazoning  to‘laligi  R   fazoning  to‘laligidan  bevosita  kelib  chiqadi. 
Haqiqatan ham, 
( )
(
)
)
(
)
(
2
)
(
1
,...,
,
p
n
p
p
p
x
x
x
x
=
 - 
n
R  dagi biror fundamental ketma-ketlik 
bo‘lsin.  U  holda  har  bir 
0
>
ε
  uchun  shunday 
ε
N   nomer  mavjud  bo‘lib,  barcha 
ε
N
p
>
 va 
ε
N
q
>
 nomerlar uchun 
( )
( )
(
)
∑
=
<
−
n
k
q
k
p
k
x
x
1
2
2
ε . 
 
 
 
(3.1) 
Natijada har bir 
{
}
n
k
,...,
2
,
1
∈
 uchun 
{ }
)
( p
k
x
 ketma-ketlik barcha 
ε
N
p
>
 va 
ε
N
q
>
 
nomerlar  uchun 
( )
( )
ε
<
−
q
k
p
k
x
x
  tengsizlikni  qanoatlantiradi,  ya’ni 
{ }
∞
=
1
)
(
p
p
k
x
 
fundamental  sonli  ketma-ketlikdir  va  R   fazo  to‘la  bo‘lganligi  uchun  u 
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning limitini  
( )
{
}
n
k
x
x
p
k
p
k
,...,
2
,
1
,
lim
∈
=
→∞
 
orqali  belgilaymiz.  U  holda,  (3.1)  tengsizlikda 
ε
N
p
>
    deb 
∞
→
q
  da  limitga 
o‘tsak 
( )
(
)
∑
=
≤
−
n
k
k
p
k
x
x
1
2
2
ε  
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bundan 

 
 
36 
( )
(
)
.
,...,
,
lim
2
1
x
x
x
x
x
n
p
p
=
=
∞
→
 ∆ 
     
3.4.-3.5. 
n
R
∞
 va 
n
p
R  fazolarning to‘laligi ham shunga o‘xshash isbotlanadi. 
     
3.6. 
]
,
[ b
a
C
  fazoning  to‘laligini  ko‘rsatamiz. 
{ }
n
x   - 
]
,
[ b
a
C
  da  fundamental 
ketma-ketlik  bo‘lsin.  U  holda  har  bir 
0
>
ε
  uchun  shunday 
ε
N   mavjudki, 
ε
N
m
n
>
,
 bo‘lganda 
(
)
( )
( )
ε
ρ
<
−
=
≤
≤
t
x
t
x
x
x
m
n
b
t
a
m
n
max
,
  
 
 
 (3.2) 
tengsizlik bajariladi.  Bu esa 
{ }
n
x  funksional ketma-ketlikning 
]
,
[ b
a
 kesmada tekis 
yaqinlashish shartidir. Shuning uchun 
{ }
n
x  ketma-ketlik 
]
,
[ b
a
 kesmada aniqlangan 
qandaydir  x   uzluksiz  funksiyaga  tekis  yaqinlashadi.  Agar  (3.2)  tengsizlikda 
ε
N
n
>
 bo‘lganda 
∞
→
m
 da limitga o‘tsak, barcha 
]
,
[ b
a
t
∈
 larda  
(
)
( ) ( )
ε
ρ
≤
−
=
≤
≤
t
x
t
x
x
x
n
b
t
a
n
max
,
 
tengsizlik  kelib  chiqadi,  ya’ni 
{ }
n
x   ketma-ketlik 
]
,
[ b
a
C
  fazo  metrikasida  x  
funksiyaga yaqinlashadi. ∆ 
     
3.7. 
2
l  ham to‘la fazodir. 
}
{
)
(n
x
 - 
2
l  fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-
ketlik  bo‘lsin.  U  holda  har  bir 
0
>
ε
  uchun  shunday 
ε
N   mavjudki, 
ε
N
m
n
>
,
 
bo‘lganda 
( ) ( )
(
)
( )
( )
(
)
2
1
2
2
,
ε
ρ
<
−
=
∑
∞
=
k
m
k
n
k
m
n
x
x
x
x
  
 
(3.3) 
tengsizlik bajariladi, bu yerda 
( )
( ) ( )
( )
(
)
K
K
,
,
,
,
2
1
n
k
n
n
n
x
x
x
x
=
. (3.3) dan kelib chiqadiki, 
ixtiyoriy 
k
  natural  son  uchun 
( )
( )
ε
<
−
m
k
n
k
x
x
  bo‘ladi,  ya’ni  har  bir 
k
  da 
( )
n
k
x
 
haqiqiy  sonlar  ketma-ketligi  fundamentaldir  va  shuning  uchun  u  yaqinlashadi. 
Aytaylik, 
( )
,
,
2
,
1
,
lim
K
=
=
∞
→
k
x
x
n
k
n
k
 
bo‘lsin.  Endi  x   bilan  yuqoridagi 
k
x   limitlar  orqali  tuzilgan 
(
)
K
K
,
,
,
,
2
1
k
x
x
x
 
ketma-ketlikni belgilaymiz. 
Quyidagilarni ko‘rsatishimiz kerak:  
a) 
∞
<
∑
∞
=
1
2
k
k
x
,  ya’ni 
2
l
∈
x
;  
b) 
( )
(
)
.
0
,
lim
=
∞
→
n
n
x
x
ρ
  
(3.3) tengsizlikka asosan har bir belgilangan  M  natural son uchun 
(
)
2
1
2
)
(
)
(
ε
<
−
∑
=
M
k
m
k
n
k
x
x
 
tengsizlik  o‘rinli.  Bu  tengsizlikning  chap  tomonidagi  yig‘indida  cheklita 
qo‘shiluvchi bo‘lgani uchun 
ε
N
n
>
 ni tayinlab, 
∞
→
m
 da limitga o‘tsak, 
(
)
2
1
2
)
(
ε
≤
−
∑
=
M
k
k
n
k
x
x
 

 
 
37 
tengsizlikka  kelamiz.  Bu  tengsizlik  barcha  M   larda  o‘rinli,  shuning  uchun 
∞
→
M
 da limitga o‘tsak, 
(
)
2
1
2
)
(
ε
≤
−
∑
∞
=
k
k
n
k
x
x
 
   
 
 
(3.4) 
tengsizlikka ega bo‘lamiz. 
( )
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
1
2
)
(
1
2
)
(
,
k
k
n
k
k
n
k
x
x
x
 
qatorlar yaqinlashuvchi bo‘lgani va 
(
)
(
)
( )
∑
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+
−
≤
+
−
=
1
2
)
(
1
2
)
(
1
2
)
(
)
(
1
2
2
2
k
n
k
k
n
k
k
k
n
k
n
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
 
munosabatdan 
∑
∞
=
1
2
k
k
x  
qatorning  yaqinlashuvchi  ekanligi  kelib  chiqadi,  ya’ni  a)  tasdiq  isbotlandi.  (3.4) 
tengsizlikda 
0
>
ε
 ixtiyoriy kichik miqdor bo‘lgani uchun 
(
)
(
)
0
1
2
=
−
=
∑
∞
=
∞
→
∞
→
k
n
k
k
n
n
n
x
x
x
x
)
(
)
(
lim
,
lim
ρ
 
tenglik  o‘rinli  bo‘ladi,  ya’ni 
2
l   fazo  metrikasida 
( )
x
x
n
→
.  b)  tasdiq  ham  isbot 
bo‘ldi. ∆