O`zbekiston Oliy va O`rta maxsus ta`lim vazirligi Namangan Davlat universiteti

Misol. 3.10.  X  deb ratsional sonlar to‘plamini belgilasak, u to‘la bo‘lmagan 
metrik  fazo  bo‘ladi.  Uning  to‘ldirmasi 
*
X -  haqiqiy  sonlardan  iborat  metrik  fazo 
bo‘ladi. 
]
,
[
2
b
a
C
  to‘la  bo‘lmagan  metrik  fazo  bo‘ladi.  Uning  to‘ldirmasi 
]
,
[
2
b
a
L
 
fazodir (8-§ ning 8.15 va 8.17-misollariga qarang).  
 
3.3. Metrik fazolarda  kompakt to‘plamlar 
     
 
Matematik  analiz  faniga  qat’iy  asos  solishda  va  uning  rivojida  Bolsano-
Veyershtrass  teoremasi  va  Geyne-Borel  lemmalari  fundamental  ahamiyatga  ega. 
Bolsano-Veyershtrass  teoremasiga  ko‘ra  sonlar  o‘qidagi  istalgan  chegaralangan 
cheksiz  to‘plam  kamida  bitta  limitik  nuqtaga  ega.  Geyne-Borel  lemmasiga  ko‘ra 
sonlar  o‘qidagi 
]
,
[ b
a
  kesmaning  istiyoriy  ochiq  qoplamasidan  chekli  qism 
qoplama ajratib olish mumkin. 
Sonlar  o‘qidagi  chegaralangan  cheksiz  to‘plamlar  va  kesmalarning  bu 
xossalarini  metrik  fazolarda  umumlashtirish  maqsadida  biz  kompaktlik 
tushunchasiga kelamiz. 
Kompakt  to‘plamlar  tushunchasi  metrik  fazolardagi  asosiy  tushunchalardan 
biri  hisoblanadi.  Kompakt  to‘plamlar  kompakt  operatorlarni  ta’riflashda  va  ularni 
tekshirishda qo‘llaniladi.  
Bizga  X   metrik  fazo  berilgan  bo‘lsin.  M   va 
α
A   to‘plamlar  X   ning  qism 
to‘plamlari  bo‘lsin. 
{ }
'
α
A
  to‘plamlar  sistemasi 
{ }
α
A
  to‘plamlar  sistemasining 
qismi bo‘lsin. 
3.4-ta’rif.  Agar 
U
α
α
A
M
⊂
  bo‘lsa, 
{ }
α
A
  to‘plamlar  sistemasi  M  
to‘plamning  qoplamasi  deyiladi.  Agar 
{ }
'
α
A
⊂
{ }
α
A
  qism  sistema  uchun 
U
'
'
α
α
A
M
⊂
  bo‘lsa,  u  holda 
{ }
'
α
A
  sistema  M   ning  qism  qoplamasi  deyiladi. 
Xususiy  holda, 
U
α
α
A
X
=
  bo‘lsa,  u  holda 
{ }
α
A
  to‘plamlar  sistemasi  X   fazoning 
qoplamasi deyiladi. 
3.5-ta’rif.  Agar 
X
K
⊂
  to‘plamning  istalgan  ochiq  qoplamasidan  chekli 
qism qoplama ajratish mumkin bo‘lsa, u holda  K  kompakt to‘plam deyiladi. Agar 

 
 
45 
X   fazoning  istalgan  ochiq  qoplamasidan  chekli  qism  qoplama  ajratish  mumkin 
bo‘lsa, u holda  X  kompakt metrik fazo deyiladi. 
Quyida  ko‘rsatamizki,  sonlar  o‘qida 
]
,
[ b
a
  kesma  kompakt  to‘plam  bo‘lishi 
bilan  bir  qatorda 
n
R   va 
n
C   fazolarda  istalgan  chegaralangan  yopiq  to‘plam 
kompakt  to‘plam  bo‘ladi.  Aksincha,  sonlar  o‘qi, 
n
R   va 
n
C   fazolar  kompakt  
bo‘lmagan metrik fazolarga misol bo‘ladi. 
Endi 3.5-ta’rifga ekvivalent bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltiramiz. 
3.6-ta’rif. Agar  K  to‘plamdan olingan ixtiyoriy 
}
{
n
x
 ketma-ketlikdan  K  da 
yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa,  K  ga kompakt to‘plam 
deyiladi. 
3.7-ta’rif.  Agar  M   to‘plamning  yopig‘i 
]
[M   kompakt  to‘plam  bo‘lsa,  yoki 
ixtiyoriy 
M
x
n
∈
}
{
  ketma-ketlikdan  X   da  yaqinlashuvchi  qismiy  ketma-ketlik 
ajratish mumkin bo‘lsa,  M  ga nisbiy kompakt to‘plam deyiladi. 
Endi  biz  R
n
  yoki  C
n
  fazolardagi  to‘plamlarning  kompaktlik  kriteriysini 
beramiz. Quyida 
θ
 bilan 
n
R
∈
)
0
...,
,
0
,
0
(
 nuqta belgilangan. 
3.4-teorema. 
(
)
1
,
1
,
≥
≥
p
C
p
R
n
p
n
p
  metrik  fazodagi  K   to‘plam  kompakt 
bo‘lishi uchun, uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi yetarli va zarurdir. 
Isbot. Yetarliligi. Chegaralangan va yopiq 
n
p
R
K
⊂
 to‘plam berilgan bo‘lsin. 
K  chegaralangan to‘plam bo‘lganligi uchun u biror 
[ ]
r
B ,
θ
 sharda saqlanadi, ya’ni 
( )
K
x
r
x
x
p
n
k
p
k
∈
∀
≤






=
∑
=
,
,
1
1
θ
ρ
.    
 
(3.12) 
Endi  K  to‘plamdan ixtiyoriy 
( )
( ) ( )
( )
(
)
p
n
p
p
p
x
x
x
x
,
,
,
2
1
K
=
 ketma-ketlik olamiz. 
( )
}
{
p
x
 
ketma-ketlik  hadlari  ham  (3.12)  tengsizlikni  qanoatlantiradi.  Bundan  esa 
( )
{ }
( )
{ }
( )
{ }
p
n
p
p
x
x
x
,...,
,
2
1
  sonli  ketma-ketliklarning  chegaralangan  ekanligi  kelib 
chiqadi.  Boltsano-Veyerstrass  teoremasiga  ko‘ra 
( )
{ }
p
x
1
  ketma-ketlikdan  biror 
( )
{ }
0
1
x
  songa  yaqinlashuvchi 
( )
{ }
1
1
k
p
x
  qismiy  ketma-ketlik  ajratish  mumkin. 
Chegaralangan 
( )
{ }
1
2
k
p
x
  ketma-ketlikdan  Boltsano-Veyerstrass  teoremasiga  ko‘ra 
biror 
( )
{ }
0
2
x
 songa yaqinlashuvchi 
( )
{ }
2
2
k
p
x
 qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Bu 
holda ham 
( )
{ }
2
1
k
p
x
 qismiy ketma-ketlik 
( )
{ }
0
1
x
 songa yaqinlashuvchi bo‘ladi. Xuddi 
shu  yo‘l  bilan  n -  chi  qadamda  chegaralangan 
(
)
{ }
1
−
n
k
p
n
x
  ketma-ketlikdan  Boltsano-
Veyershtrass  teoremasiga  ko‘ra  biror 
( )
{ }
0
n
x
  songa  yaqinlashuvchi 
( )
{ }
n
k
p
n
x
  qismiy 
ketma-ketlik 
ajratish 
mumkin. 
Natijada 
hosil 
bo‘lgan 
( )
( ) ( )
( )
(
)
{
}
n
k
n
k
n
k
n
k
p
n
p
p
p
x
x
x
x
,...,
,
2
1
=
  ketma-ketlik 
( )
( )
( )
( )
(
)
0
0
2
0
1
0
,
,
,
n
x
x
x
x
K
=
  elementga 
yaqinlashadi.  K   yopiq  to‘plam  bo‘lganligi  uchun 
)
0
(
x
K
∈
  bo‘ladi.  3.6-ta’rifga 
ko‘ra  K  kompakt to‘plam bo‘ladi. 

 
 
46 
Zaruriyligi. Bizga 
n
R  metrik fazodagi  K  kompakt to‘plam berilgan bo‘lsin. 
n
R   fazoning 
( )
{
}
∞
=
1
,
n
n
B
θ
  ochiq  qoplamasini  olamiz.  Tabiiyki, 
( )
{
}
∞
=
1
,
n
n
B
θ
  ochiq 
sharlar  sistemasi  K   to‘plamni  ham  qoplaydi.  K   kompakt  to‘plam  bo‘lganligi 
uchun  shunday  chekli 
(
)
{
}
l
i
i
n
B
1
,
=
θ
  qism  sistema  mavjudki,  u  ham  K   to‘plamni 
qoplaydi.  Agar  biz 
l
n
n
n
,
,
,
2
1
K
  sonlarning  eng  kattasini 
0
n   bilan  belgilasak, 
(
)
0
, n
B
θ
  ochiq  shar  K   ni  saqlaydi.  Bu  esa  K   to‘plamning  chegaralangan 
ekanligini bildiradi.  
Endi  K   ning  yopiqligini  isbotlaymiz.  Teskarisidan  faraz  qilaylik,  ya’ni  K  
yopiq  bo‘lmasin.  U  holda 
K
R
n
\
  to‘plamda  K   ning  hech  bo‘lmaganda  bitta 
limitik nuqtasi mavjud. Uni 
0
x  bilan belgilaymiz. Limitik nuqta ta’rifiga ko‘ra 
0
x  
ga  yaqinlashuvchi 
}
{
k
x
, 
k
x
∈
K   ketma-ketlik  mavjud.  K   kompakt  to‘plam 
bo‘lganligi uchun 
}
{
k
x
 ketma-ketlikdan  K  da yaqinlashuvchi 
{ }
l
k
x
 qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin. 
}
{
k
x
 ketma-ketlik 
0
x
∈
K
R
n
\
 elementga yaqinlashganligi 
uchun  uning  ixtiyoriy  qismiy  ketma-ketligi,  jumladan 
{ }
l
k
x
  qismiy  ketma-ketlik 
ham 
0
x   ga  yaqinlashadi.  Bundan 
0
x
∈
K   ekanligi  kelib  chiqadi.  Bu  qarama-
qarshilik  K  ning yopiq to‘plam ekanligini isbotlaydi.  ∆ 
3.1-natija. 
(
)
1
,
1
,
≥
≥
p
C
p
R
n
p
n
p
 metrik fazodagi  K  to‘plam nisbiy kompakt 
bo‘lishi uchun, uning chegaralangan bo‘lishi yetarli va zarurdir. 
Metrik  fazolarda  nisbiy  kompaktlik  tushunchasi  to‘la  chegaralanganlik 
tushunchasi  bilan  ustma-ust  tushadi.  Shu  maqsadda  to‘la  chegaralangan  to‘plam 
tushunchasini beramiz. Bizga 
)
,
(
ρ
X
 metrik fazodan olingan  A ,  M  to‘plamlar va 
0
>
ε
 son berilgan bo‘lsin. 
3.8-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
M
x
∈
  uchun  shunday 
A
a
∈
  mavjud  bo‘lib, 
ε
ρ
≤
)
,
( a
x
 tengsizlik bajarilsa,  A  to‘plam  M  to‘plam uchun 
ε  - to‘r deyiladi. 
A  to‘plam  M  ning qismi bo‘lishi shart emas, umuman 
∅
=
M
A I
 bo‘lishi  
ham mumkin. 
3.9-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
ε >0  son  uchun  M   to‘plamning  chekli  ε   -  to‘ri 
mavjud bo‘lsa,  M  ga to‘la chegaralangan to‘plam deyiladi. 
Har  qanday  to‘la  chegaralangan  to‘plam  chegaralangan  bo‘ladi,  lekin 
teskarisi o‘rinli emas.  
3.5-teorema. 
)
,
(
ρ
X
  to‘la  metrik  fazodagi  M   to‘plam  nisbiy  kompakt 
bo‘lishi uchun, uning to‘la chegaralangan bo‘lishi yetarli va zarurdir  ]
1
[ . 
Asosiy  funksional  fazolardan  biri 
]
,
[ b
a
C
  fazodir.  Bu  fazodagi  to‘plamning 
kompaktlik  kriteriysini  keltiramiz.  Paragraf  so‘ngida 
≥
p
p
,
l
1  fazodagi 
to‘plamlarning kompaktlik kriteriysini beramiz. 
]
,
[ b
a
C
F
⊂
 funksiyalar oilasi berilgan bo‘lsin. 
3.10-ta’rif.  Agar  shunday 
0
>
C
  mavjud  bo‘lib,  ixtiyoriy 
F
∈
φ
  va  barcha 
]
,
[ b
a
x
∈
  lar  uchun 
C
x
≤
)
(
φ
  tengsizlik  bajarilsa,  u  holda  F   funksiyalar  oilasi 
tekis chegaralangan deyiladi. 

 
 
47 
3.11-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  shunday 
0
>
δ
  son  mavjud 
bo‘lib, 
δ
<
−
2
1
x
x
  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy 
[ ]
b
a
x
x
,
,
2
1
∈
  hamda 
barcha 
F
∈
φ
 lar uchun 
( ) ( )
ε
φ
φ
<
−
2
1
x
x
 
tengsizlik bajarilsa,  F  funksiyalar oilasi tekis darajada uzluksiz deyiladi. 
3.6-teorema.  (Arsela  teoremasi). 
[ ]
b
a
C
M
,
⊂
  to‘plam  nisbiy  kompakt 
bo‘lishi  uchun  uning  tekis  chegaralangan  va  tekis  darajada  uzluksiz  bo‘lishi 
yetarli va zarurdir. 
Isbot.  Zaruriyligi. 
[ ]
b
a
C
M
,
⊂
  -  ixtiyoriy  nisbiy  kompakt  to‘plam  bo‘lsin. 
]
,
[ b
a
C
  to‘la  metrik  fazo  bo‘lgani  uchun  3.5-teoremaga  ko‘ra,  ixtiyoriy 
ε  da  M  
ning  chekli 
{
}
k
ϕ
ϕ
ϕ
,
,
,
2
1
K
  elementdan  iborat 
3
/
ε
  -  to‘ri  mavjud.  Har  bir 
i
ϕ  
funksiya 
]
,
[ b
a
 kesmada uzluksiz bo‘lganligi uchun u chegaralangandir, ya’ni 
[ ]
( )
k
i
K
x
i
i
b
a
x
,
,
2
,
1
,
max
,
K
=
≤
∈
ϕ
. 
3
/
max
1
ε
+
=
≤
≤
i
k
i
K
K
  belgilash  kiritamiz. 
ε /3  -  to‘r  ta’rifiga  ko‘ra,  har  bir 
M
∈
ϕ
 
uchun birorta 
i
ϕ  da 
(
)
[ ]
( ) ( )
3
max
,
,
ε
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ρ
≤
−
=
∈
x
x
i
b
a
x
i
 
tengsizlik bajariladi. Bu yerdan kelib chiqadiki, har bir x
∈
]
,
[ b
a
 uchun  
( )
( )
K
K
x
x
i
i
≤
+
≤
+
≤
3
3
ε
ε
ϕ
ϕ
. 
Shunday  qilib,  M   to‘plam  funksiyalar  oilasi  sifatida  tekis  chegaralangan  ekan. 
Kantor teoremasiga ko‘ra har bir 
i
ϕ  funksiya 
]
,
[ b
a
 kesmada tekis uzluksiz bo‘ladi. 
Demak,  ixtiyoriy 
ε   son  uchun  shunday 
0
>
i
δ
  mavjud  bo‘lib, 
i
x
x
δ
<
−
2
1
 
bo‘lganda  
( ) ( )
3
2
1
ε
ϕ
ϕ
<
−
x
x
i
i
 
tengsizlik  bajariladi.  Aytaylik, 
i
k
i
δ
δ
≤
≤
=
1
min
  bo‘lsin.  Ixtiyoriy 
M
∈
ϕ
  uchun 
i
ϕ  
funksiyani shunday tanlaymizki, 
(
)
3
/
,
ε
ϕ
ϕ
ρ
<
i
 bo‘lsin. U holda 
δ
<
−
2
1
x
x
 shart 
bajarilganda 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
<
−
+
−
+
−
≤
−
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
i
i
i
i
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
ε
ε
ε
ε
=
+
+
<
3
3
3
 
o‘rinli. Bundan  M  ning tekis darajada uzluksizligi kelib chiqadi. 
Yetarliligi.  Funksiyalarning 
[ ]
b
a
C
M
,
⊂
  oilasi  tekis  chegaralangan  va  tekis 
darajada  uzluksiz  bo‘lsin.  Agar  biz,  ixtiyoriy 
0
>
ε
  son  uchun  M   ning  chekli 
ε  
to‘ri  mavjud  ekanligini  ko‘rsatsak,  3.5-teoremaga  ko‘ra  M   ning  nisbiy  kompakt 
to‘plam    ekanligi  kelib  chiqadi.  Hamma 
M
∈
ϕ
  va  barcha 
]
,
[ b
a
x
∈
  uchun 
( )
K
x
≤
ϕ
  bo‘lsin.  Ixtiyoriy 
0
>
ε
  uchun 
0
>
δ
  ni  shunday  tanlaymizki,  barcha 

 
 
48 
M
∈
ϕ
  lar  uchun 
δ
<
−
2
1
x
x
  bo‘lganda 
( ) ( )
5
2
1
ε
ϕ
ϕ
<
−
x
x
  shart  bajarilsin. 
Koordinatalar sistemasining 
OX
 o‘qidagi 
]
,
[ b
a
 kesmani  
b
x
x
x
x
a
n
=
<
<
<
<
=
K
2
1
0
 
nuqtalar  bilan  uzunliklari 
0
>
δ
  dan  kichik  oraliqlarga  bo‘lamiz  va  bu  nuqtalar 
orqali 
OY
  o‘qiga  parallel  (vertikal)  to‘g‘ri  chiziqlar  o‘tkazamiz.  Keyin 
OY
 
o‘qidagi 
]
,
[
K
K
−
 kesmani 
K
y
y
y
y
K
m
=
<
<
<
<
=
−
K
2
1
0
 
nuqtalar  bilan  uzunliklari 
5
/
ε
  dan  kichik  oraliqlarga  bo‘lamiz  va  bu  bo‘linish 
nuqtalari  orqali 
OX
  o‘qiga  parallel  (gorizontal)  to‘g‘ri  chiziqlar  o‘tkazamiz. 
Shunday qilib, 
]
,
[
]
,
[
K
K
b
a
−
×
 to‘g‘ri to‘rtburchak gorizontal tomoni 
δ
 dan kichik 
va  vertikal  tomoni 
5
/
ε
  dan  kichik  yacheykalarga  ajraladi.  Har  bir 
M
∈
ϕ
 
funksiyaga    uchlari 
(
)
l
k
y
x ,
  nuqtalarda  bo‘lgan  va  har  bir 
k
x   nuqtada 
)
(
k
x
ϕ
  dan 
5
/
ε
  dan  kichik  chetlangan 
ψ  siniq chiziqni  mos qo‘yamiz (bunday siniq chiziq 
mavjud). 
Bu 
)
(x
ψ
 siniq chiziqning tanlanishiga ko‘ra  
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5
,
5
,
5
1
1
1
ε
ϕ
ϕ
ε
ψ
ϕ
ε
ψ
ϕ
<
−
<
−
<
−
+
+
+
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
 
bo‘lgani uchun  
( ) ( )
5
3
1
ε
ψ
ψ
<
−
+
k
k
x
x
. 
tengsizlik  bajariladi.  Tuzilishiga  ko‘ra 
ψ   funksiya 
[
]
1
,
+
k
k
x
x
  kesmada  chiziqli 
bo‘lganligi sababli, barcha 
[
]
1
,
+
∈
k
k
x
x
x
 lar uchun  
( ) ( )
5
3
ε
ψ
ψ
<
−
x
x
k
. 
Endi 
x
  - 
]
,
[ b
a
  kesmaning  ixtiyoriy  nuqtasi  va 
k
x   esa  x   ga  chapdan  eng 
yaqin bo‘linish nuqtasi bo‘lsin. U holda 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ε
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
≤
−
+
−
+
−
≤
−
x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
k
k
. 
Shunday  ekan  yuqorida  ko‘rsatilgan  usulda  qurilgan  barcha 
ψ siniq  chiziqlar 
chekli  va  u  M   to‘plam  uchun 
ε   -  to‘r  bo‘ladi.  3.5-teoremaga  ko‘ra  M   nisbiy 
kompakt to‘plam bo‘ladi.  ∆