O’zbekiston respbliasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti

5. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarning hosil bo’lishi. Texnikada ikkinchi tartibli egri chiziqlardan ellips, parabola va giperbola keng ko’lamda qo’llaniladi.
Ellips yopiq egri chiziq bo’lib, u shunday geometrik nuqtalarning o’rnidan iboratki, uning har bir nuqtasidan fokuslar deb ataluvchi ikki doimiy nuqtaga qadar bo’lgan masofalarning yig’indisi o’zgarmaydi.
Ellipsning tenglamasi bo’yicha uning nuqtalarini aniqlash va yasashni ko’rib chiqamiz. Agar ellipsning 2a=AV katta o’qi hamda kichik o’qi 2b=CD berilgan bo’lsa (4-shakl), fokuslarni aniqlash uchun S nuqtadan R=a radiusda yoy chiziladi. Bu yoy ellipsning katta o’qi (AV) bilan kesishib, F₁ va F₂ nuqtalarni markaz qilib r va 2a-r radiuslarda yoylar chiziladi. Bunda r ; MN=X_M+AF=R ga teng. FO=F – parabola parametri, OX – parabolaning simmetriya o’qi deyiladi.
Parabolaning tenglamasi quyidagicha ifodalanadi:
Y²=2PX
Bu tenglamadan foydalanib egri chiziqning ko’rinishini va uning xususiyatlarini aniqlash mumkin.
Giperbola – ochiq egri chiziq bo’lib, uning har bir nuqtasidan haqiqiy o’qida joylashgan ikki (fokuslar deb ataluvchi F₁ va F₂) nuqtasigacha bo’lgan masofalarning ayirmasi o’zgarmas miqdor bo’lib, F₁F₂=2S ga teng bo’ladi.
Tekislikda yotuvchi har qanday (M) nuqta giperbolaga tegishli bo’lishi uchun MF₁=MF₂=2a tenglik saqlanishi kerak (6-shakl). Giperbolaning umumiy formulasi, ellipsning formulasidan faqat chap tomondagi hadlarining manfiyligi bilan farq qilib,quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Bu yerda x – haqiqiy o’q, y esa mavhum o’q deyiladi.
a va b lar giperbolaning haqiqiy va mavhum o’qlarining yarmisiga teng.
2a va 2b lardan tashkil topgan to’rtburchakning diagonallari bo’yicha yo’nalgan chiziqlarga giperbolaning asimptotalari deyiladi.
Aylana – eng ko’p ishlatiladigan egri chiziq bo’lib, (O) markazdan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning yig’indisidan iborat (8-shakl).
Aylananing umumiy formulasi quyidagicha ifodalanadi:
r²=x²+y²